2022届新高考一轮复习苏教版 第8章 第7讲 立体几何中的向量方法(二) 课件（67张）

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3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
图①　　　　　图②　　　　　　图③
【特别提醒】1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs 〈a，n〉|，不要误记为cs θ＝|cs 〈a，n〉|.2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【答案】C
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
利用空间向量求异面直线所成的角
【解题技巧】1．向量法求异面直线所成的角的两种方法(1)基向量法：利用线性运算．(2)坐标法：利用坐标运算．2．向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
【答案】(1)C　(2)A
(2016年新课标Ⅲ)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
利用空间向量求直线与平面所成的角
【解题技巧】利用平面的法向量求线面角的注意点(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cs2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．
解：(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，MN∥BB1．又AA1∥BB1，所以AA1∥MN.因为△A1B1C1为正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，所以B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1CF.
解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
【解题技巧】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小是锐角还是钝角．(2)定义法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
高考中立体几何解答题的第二问考查空间角，其中线面角和二面角是考查的重点，求解方法有几何法和向量法，本文重点介绍几何法．
思想方法类——用几何法求解空间角
解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB．又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)．
(2)由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD．所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，则∠PDA＝45°，设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE，于是CE⊥平面PAH，所以平面PCE⊥平面PAH.
【解题技巧】1．用几何法求线面角时，先寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角，再把该角归结在某个三角形中，通过解三角形求出该角．
2．找二面角有三种方法，一是定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线；二是三垂线定理法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角；三是垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．
解：(1)证明：设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC．故AE⊥平面A1BC．由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以A1AED为平行四边形，故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．