高中数学北师大版必修51.1数列的概念教案设计

§1　数列

§11.1　数列的概念

1．数列的基本概念

阅读教材P3～P4，完成下列问题

(1)数列的有关概念

(2)数列的表示

①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；

②字母表示：上面数列也可记为{an}．

③数列的分类

思考：(1)数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？

[提示]　数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．

(2)数列的项和项数有何区别？

[提示]　数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1.

2．通项公式

阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．

(1)如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．

(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．

思考：(1)若an＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？

[提示]　因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8.

(2)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？

[提示]　数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

1．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　)

A．第9项 B．第10项

C．第11项 D．第12项

C　[由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11.故选C．]

2．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝________.

2　[a2＝2×22－3×2＝2.]

3．数列1,2,3,4,5，…的通项公式为________．

an＝n(n∈N＋)　[观察知数列的通项公式为an＝n(n∈N＋)．]

4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．

1　－1　[当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.

当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.]

【例1】　(1)下列说法错误的是(　　)

A．数列4,7,3,4的首项是4

B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3

C．数列1,2,3，…就是数列{n}

D．数列中的项不能是三角形

(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．

①8,8,8,8；

②－3，－1,1，x,5,7，y,11；

③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．

(1)B　[根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．]

(2)[解]　①能构成数列，且构成的是有穷数列．

②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．

③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，….

数列及其分类的判定方法

(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；

(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．

1．下列说法正确的是(　　)

A．1,2,3,4，…，n是无穷数列

B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列

C．同一个数在数列中不能重复出现

D．数列{2n＋1}的第6项是13

D　[A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．

B错误，数列是有次序的．

C错误，数列中的数可以重复出现．

D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13.]

【例2】　根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式．

(1)，，，，…；(2)，2，，8，，…；

(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，….

[解]　(1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．

故an＝.

(2)将分母统一成2，则数列变为，，，，，…，其各项的分子为n2.

∴an＝.

(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.

(4)通过观察分析可知所求通项公式为an＝(10n－1)．

由数列的前几项求通项公式的思路

(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．

(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．

(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．

(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．

2．(1)数列1，，，，，…的一个通项公式an＝(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C． D．

(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．

①，，，，…；

②－3,7，－15,31，…；

③2,6,2,6，….

(1)B　[由已知得，数列可写成，，，，，…，故通项公式为.]

(2)[解]　①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，

所以an＝.

②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，

所以an＝(－1)n(2n＋1－1)．

③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．

所以an＝4＋(－1)n·2或an＝

[探究问题]

1．已知数列{an}的通项公式，如何求数列的某一项？

[提示]　 把n的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值．

2．已知数列{an}的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？

[提示]　假定这个数是数列中的第n项，由通项公式可得方程，解方程求得n，若n是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n不是正整数，则该数不是数列中的项．

【例3】　数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)．

(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？

(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？

思路探究：(1)⇒⇒

(2)⇒⇒⇒

[解]　(1)若0是{an}中的第n项，则＝0，

因为n∈N＋，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项．

若1是{an}中的第n项，则＝1，

所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0.

因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，

所以1不是{an}中的项．

(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10.

所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．

1．(变条件)在例3中，把“an＝”改为“an＝n2－3n”，解答(1)(2)两题．

[解]　(1)若0是{an}中的第n项，则n2－3n＝0，因为n∈N＋，所以n＝3，故0是{an}中的第3项．

若1是{an}中的第n项，则n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0，因为方程n2－3n－1＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项．

(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，所以m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1)，解得m＝1.

所以数列{an}中存在连续的两项，第1项与第2项相等．

2．(变结论)例3的条件不变，求a3＋a4的值和a2n.

[解]　a3＋a4＝＋＝－61，a2n＝＝2n2－21n.

1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．

2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．

1．观察法写通项公式的注意事项

据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

2．并非每一个数列均有通项公式，如的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．

3．通项公式的应用．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列中的项不能相等．(　　)

(2)数列1,2,3,4，…，n－1，只有n－1项．(　　)

(3)数列1,2,3,4，…，n2是无穷数列．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

[提示]　数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n2共n2项，是有穷数列，故(3)错．

2．在数列－1,0，，，…，，…中0.08是它的(　　)

A．第100项 B．第12项

C．第10项 D．第8项

C　[由题意知，an＝.

令an＝0.08，即＝，

所以n＝10，n＝(舍去)，故选C．]

3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.

3－4n　　[根据通项公式我们可以求出这个数列的

任意一项．

因为an＝3－2n，

所以a2n＝3－22n＝3－4n，

＝＝.]

4．已知数列{an}的通项公式为an＝.

(1)写出数列的前三项；

(2)和是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？

[解]　(1)数列的前三项：a1＝＝1，

a2＝＝＝，

a3＝＝＝.

(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，

解得n＝5或n＝－8，

注意到n∈N＋，故n＝－8舍去．

所以是数列{an}的第5项．

令＝，则4n2＋12n－27＝0，

解得n＝或n＝－，

注意到n∈N＋，所以不是数列{an}中的项．