北师大版必修54数列在日常经济生活中的应用当堂检测题

课时分层作业(十)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为(　　)

A．p　　　 B．12p

C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1

D　[设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1，故选D．]

2．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为(　　)

A．－1 B．－1

C．－1  D．－1

A　[设2012年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝－1，故选A．]

3．某企业2018年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2018年度的产值月平均增长率为(　　)

A．   B．－1

C．－1 D．

C　[设2018年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，所以r＝－1.故选C．]

4．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)

A．　　　　　　 B．

C． D．

C　[由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，

所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝

＝.]

5．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13 958，则出版这套书的年份是(　　)

A．1994 B．1996

C．1998 D．2000

D　[设出齐这套书的年份是x，则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x

＝13 958，

∴7x－＝13 958，解得x＝2 000.]

二、填空题

6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成________．

512　[由题意知a1＝1，公比q＝2，经过3小时分裂9次，

∴末项为a10，则a10＝a1·29＝512.]

7．根据市场调查预测，某商场在未来10年，计算机销售量从a台开始，每年以10%的速度增长，则该商场在未来10年大约可以销售计算机总量为________．

10a(1.110－1)　[由题意知，该商场在未来10年内每年计算机的销售量成等比数列，在未来10年大约可以销售计算机总量为S10＝＝10a(1.110－1)台．]

8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2013年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2018年的垃圾量为________吨．

a(1＋b)　a(1＋b)5　[2013年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2013年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2018年是从2013年起再过5年，所以2018年的垃圾量是a(1＋b)5吨．]

三、解答题

9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；

(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.

[解]　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴an＝a·0.9n－1(n≥1)．

(2)10年的出口总量S10＝

＝10a(1－0.910)．

∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤，

∴a≤12.3，故2018年最多出口12.3吨．

10．某林区由于各种原因林地面积不断减少，已知2004年年底的林地面积为100万公顷，从2005年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：

试根据此表所给数据进行预测．(表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑)

(1)若不进行从2005年开始的开荒造林，那么到2018年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？

(2)如果从2005年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？

[解]　(1)记2005年该林区原有林地面积为a1到2018年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为a14，从表中看出{an}是等差数列，公差d约为－0.2，

故a14＝a1＋(14－1)d＝99.8＋(14－1)×(－0.2)＝97.2，

所以到2018年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．

(2)根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2005年底，n年后林地总面积达102万公顷，结合(1)可知：

99．8＋(n－1)×(－0.2)＋n×0.3≥102，

解得n≥20，即2024年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．

[能力提升练]

1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)

A．5月、6月 B．6月、7月

C．7月、8月 D．8月、9月

C　[Sn＝(21n－n2－5)＝(21n2－n3－5n)，

∴由an＝Sn－Sn－1，

得an＝Sn－Sn－1＝(21n2－n3－5n)－[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]

＝[21(2n－1)－(3n2－3n＋1)－5]＝(－3n2＋45n－27)，

令an>1.5，解得6<n<9，所以n＝7,8.]

2．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是(　　)

A．1 500 m B．1 600 m

C．1 700 m D．1 800 m

C　[由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0.7 ℃的等差数列，记此数列为{an}，

a1＝26 ℃，d＝－0.7 ℃，

∴14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，

解得n＝18，

∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．]

3．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元．

126　[设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝a1－1，……，

依次类推，an＋1＝an－1，

∴an＋1＋2＝(an＋2)．

∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.

∴an＋2＝(a1＋2)·n－1，

∴an＝(a1＋2)·n－1－2.

∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×6－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元．]

4．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．

　[设每年偿还x万元，第一年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)－x，第二年的年末偿还x万元后剩余的贷款为[a(1＋γ)－x](1＋r)－x＝a(1＋γ)2－x(1＋γ)－x，…，第五年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)5－x(1＋γ)4－x(1＋γ)3－…－x，由于第5年还清，所以x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝.]

5．在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：

大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？

[解]　

因此，王明选择A公司.