高中数学北师大版必修53解三角形的实际应用举例当堂检测题

课时分层作业(十四)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)

A．北偏东15°　　　 B．北偏西15°

C．北偏东10° D．北偏西10°

B　[如图所示，∠ACB＝90°，

又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°，而β＝30°，

∴α＝90°－45°－30°＝15°，

∴点A在点B的北偏西15°.]

2．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为(　　)

A．－1 B．(2－1)km

C．3 D．2

A　[由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，

设BC＝x km，

则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，

∵x＞0，∴x＝－1.]

3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　)

A．   B．

C． D．

C　[在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，

由正弦定理，得＝，

所以AB＝＝.]

4．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)

A．8(＋)海里/小时

B．8(－)海里/小时

C．16(＋)海里/小时

D．16(－)海里/小时

D　[由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，

∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，

即＝，得AB＝8(－)，

因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]

5．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是(　　)

A．100 m B．400 m

C．200 m D．500 m

D　[由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，

在Rt△ABD中，由已知BD＝h，

在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，

3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(m)．故选D．]

二、填空题

6．甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．

a，a　[甲楼的高为atan 60°＝a，

乙楼的高为a－atan 30°＝a－a＝a.]

7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

10　[如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，

ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝

＝＝10(m)．]

8．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船向正北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东______(填角度)的方向前进．

30°　[设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝⇒sin∠BAC＝.

又0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°.]

三、解答题

9.如图所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．

[解]　设CD＝x m，∠BAC＝α，

则tan α＝＝，又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝＝，

又tan(α＋45°)＝＝3，

∴＝3，∴x＝150 m，即电视塔的高度为150 m.

10.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.

(1)求AC的长；

(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．

[解]　(1)由题意，在△ABC中，

∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，

根据余弦定理得，

AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC

＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，

所以AC＝2.

故AC的长为2n mile.

(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝.

所以∠CAB＝45°.

[能力提升练]

1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)

A．30 m　　　　 B． m

C．15 m D．45 m

B　[在△ABC中，cos∠ABC＝＝，

∠ABC∈(0°，180°)，

∴sin∠ABC＝＝，

∴在Rt△ABD中，

AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝.]

2．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．

A．100 B．200

C．300 D．400

D　[在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝＝400.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos150°＝4002×13，所以AC＝400，故索道AC的长为400米．]

3．一海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为________n mile.

20(＋)　[由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，

∠ABP＝135°，∴∠BPA＝15°，

由正弦定理得＝，

∴BP＝＝＝20(＋)(n mile)．]

4．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．

　[由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，

由正弦定理＝得MN＝68××＝34.

∴速度v＝＝(海里/时)．]

5．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500 km且在海岸距离为300 km的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．

[解]　如图所示，

设快艇从M处以v km/h的速度出发， 沿MN方向航行，t h后与汽车在N点相遇，在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.设∠MON＝α，由题意知，sin α＝，则cos α＝，

由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2·OM·ON·cos α，

即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×，

整理得，v2＝2＋3 600，

当＝，即t＝时，v＝3 600，

∴vmin＝60.

即快艇至少必须以60 km/h的速度行驶，此时MN＝60×＝375.

∵MQ＝300，

设∠MNO＝β，则sin β＝＝，

∴α＋β＝90°，即MN与OM所成的角为90°.