北师大版必修53.2等比数列的前n项和同步测试题

课时分层作业(八)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)

A．7　　　　　 B．8

C．15 D．16

C　[设{an}的公比为q，

因为4a1,2a2，a3成等差数列，

所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，

即q2－4q＋4＝0，所以q＝2.

又a1＝1，所以S4＝＝15，故选C．]

2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a1a5＝1，S3＝7，则S5等于(　　)

A．   B．

C． D．

B　[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a1a5＝1，

∴a1·a1q4＝1，

又a1，q>0，∴a1q2＝1，即a3＝1，S3＝7＝＋＋1，

∴6q2－q－1＝0，解得q＝，

∴a1＝＝4，S5＝＝.]

3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，n∈N＋，其前n项和为Sn，则(　　)

A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2

C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an

D　[易知{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，所以an＝n－1，Sn＝＝＝3－2an.]

4．已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于(　　)

A． B．1

C．2 D．4

C　[∵S3＝1，S6＝9，∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3(S3)＝q3，∴q3＝8，∴q＝2.]

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(k为常数)，那么下列结论正确的是

(　　)

A．k为任意实数时，{an}是等比数列

B．k＝－1时，{an}是等比数列

C．k＝0时，{an}是等比数列

D．{an}不可能是等比数列

B　[an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1.

∵a1＝S1＝3＋k＝2×30＝2，∴k＝－1.

即k＝－1时，{an}是等比数列．]

二、填空题

6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.

－2　[S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2

＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2.]

7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.

2n－1　[设等比数列{an}的公比为q.

则q＝＝＝，

所以＝＝＝2n－1.]

8．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________.

11　[设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.

又a1＋a2＋a3＝(1－q3)＝1，

所以＝，所以S15＝(1－q15)＝[1－(q3)5]＝×[1－(－2)5]＝11.]

三、解答题

9．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.

[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.

(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2b4＝9，所以bq4＝9，解得q2＝3，所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.

从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.

10．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

[解]　(1)设{an}的公比为q.由题设可得

解得q＝－2，a1＝－2.

故{an}的通项公式为an＝(－2)n.

(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.

由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

[能力提升练]

1．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　)

A．S1 B．S2

C．S3 D．S4

C　[由题S1正确．若S4错误，则S2、S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12.a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65.

若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.

∴q＝，∴S4＝＝＝65，符合题意．]

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是(　　)

A．   B．

C． D．

D　[由8a2＋a5＝0，得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，

∴q3＝－8，∴q＝－2，∵＝q2＝4，＝＝＝，

＝＝＝，而D中＝与n有关，故不确定．]

3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·3n－2－，则实数t的值为________．

3　[由Sn＝t·3n－2－，得Sn＝，根据等比数列前n项和公式的性质Sn＝A(qn－1)，可得＝1，解得t＝3.]

4．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

1－　[令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝，

∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，

∴Sn＝＝1－.]

5．数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若b1＋b2＋…＋bk＝85，求正整数k的值．

[解]　(1)设数列{an}的公差为d，

因为a1，a2，a6成等比数列，

所以a＝a1·a6，

所以(1＋d)2＝1×(1＋5d)，

所以d2＝3d，

因为d≠0，

所以d＝3，

所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

(2)数列{bn}的首项为1，公比为q＝＝4，

故b1＋b2＋…＋bk＝＝.

令＝85，即4k＝256，

解得k＝4.

故正整数k的值为4.