2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用综合训练题

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5.3.2  函数的极值与导数

一、单选题

1．函数有（    ）

A．极大值，极小值3     B．极大值6，极小值3

C．极大值6，极小值     D．极大值，极小值

【答案】C

【解析】根据题意，，故当时，；

当时，；当时，.故在处取得极大值

；在处取得极小值，

故选C.

2．函数的极值点所在的区间为（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【解析】∵，

∴，且函数单调递增．

又，

∴函数在区间内存在唯一的零点，

即函数的极值点在区间内．

故选A．

3．函数，则（　　）

A．为函数的极大值点   B．为函数的极小值点

C．为函数的极大值点   D．为函数的极小值点

【答案】A

【解析】，故当时函数单调递增，

当时，函数单调递减，故为函数的极大值点．

故选A

4．函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数（    ）

A．无极大值点、有四个极小值点   B．有一个极大值点、两个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点   D．有四个极大值点、无极小值点

【答案】C

【解析】设导函数的图象与x轴的交点从左到右依次为，

所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为，

所以函数有两个极大值点，两个极小值点.

故选C

5．函数的极大值为（    ）

A．    B．    C．   D．

【答案】B

【解析】依题意，

故函数在上递增，在上递减，

所以函数在处取得极大值为.

故选B.

6．函数上的极小值点为（　　）

A．0    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】y′＝1﹣2sinx＝0，得x或x，

故y＝x+2cosx在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．

∴x是函数的极小值点，

故选C．

7．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数有3个极值点

B．函数在区间上是增加的

C．函数在区间上是增加的

D．当时，函数取得极大值

【答案】C

【解析】函数有两个极值点：和，但不是函数的极值点，所以A错误；
函数在和上单调递增，在上单调递减，所以B错误，C正确；
不是函数的极值点，所以D错误.
故选C.

8．已知函数在处取得极小值，则的值分别为（    ）

A．-4,4    B．4，-4   C．4,4    D．-4，-4

【答案】A

【解析】，

，

因为函数在处取得极小值，

即解得

故选

9．设函数满足，，则时，（    ）

A．有极大值，无极小值     B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值     D．既无极大值也无极小值

【答案】B

【解析】由，即，

结合，可知，

，

可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．

故选B

10．若函数仅在处有极值，则的取值范围为（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【解析】由题意，

要保证函数仅在x＝0处有极值，必须满足在x＝0两侧异号，

所以要恒成立，

由判别式有：，∴

∴，

∴a的取值范围是

故选A．

11．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】由函数的解析式可得：，

函数在内无极值，则在区间内没有实数根，

当时，恒成立，函数无极值，满足题意，

当时，由可得，故：，解得：，

综上可得：实数的取值范围是.

故选D.

12．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．  D．

【答案】C

【解析】由题意，函数，

可得，

又由函数在上有两个极值点，

则，即在上有两解，

即在在上有不等于2的解，

令，则，

所以函数在为单调递增函数，

所以且，

又由在上单调递增，则在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立，

又由函数在为单调递增函数，所以，

综上所述，可得实数的取值范围是，即，

故选C.

二、填空题

13．函数共有________个极值.

【答案】0

【解析】由题知的导函数，

，

恒成立．

函数在上是单调递增函数，

函数没有极值．

故填．

14．已知是函数的极值点，则实数的值为______.

【答案】2

【解析】函数，

所以，

因为是的极值点，

所以，即

所以.

故填2.

15．正项等差数列中的，是函数的极值点，则______.

【答案】4

【解析】因为，所以，

又，是函数的极值点，

所以，是方程的两实根，因此，

因为数列是正项等差数列，所以，解得，

因此.

故填.

16．已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线斜率为__________．

【答案】

【解析】由题意，函数，则，

又由是函数的一个极值点，

所以，解得，即，

所以，所以函数在点处切线的斜率为.

故填

17．若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】，定义域为，

令，令，可得，

令，

在上只有一个极值点，

在上只有一个根且不是重根．

所以，解得．

实数的取值值范围是：，

故填

18．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为_________

【答案】

【解析】由题可得

因为是函数的唯一一个极值点，

所以是导函数的唯一根

所以在上无变号零点．

设，则

当时，，在上单调递减

当时，，在上单调递增

所以 ，

结合与的图像可知，若是函数的唯一极值点，则

故实数的取值范围为.

故填

三、解答题

19．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线的方程；

（2）求曲线的极大值，极小值.

【解析】（1）∵，

∴在点处的切线的斜率为.

∴切线的方程为.

（2）令，解得或.

当变化时，，的变化情况如下表:

由上表，知，.

20．已知为函数的导函数，且.

（1）求的值；

（2）求的单调区间与极值.

【解析】（1）解：（1）由，得. 

因为，所以，解得.

（2）因为，则.

当时，，则函数的单调递减区间为；

当时，，则函数的单调递增区间为.

故在处取得极小值，极小值为，无极大值.

21．已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）是否存在实数a，使的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.

【解析】（1）当时，，所以，

令，得或，

所以当或时，；当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减；

（2）存在，，理由如下：

，令，得或，

因为所以

所以当时，恒成立，所以在R上单调递增，此时函数不存在极值，所以；

当时，，所以当或时，；当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以函数在时，取得极大值，所以，即，解得，

所以存在，，使的极大值为3．

22．已知函数.

（1）当a=2时,求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

【解析】（1）由题意，

所以，当时，，，

所以，

因此，曲线在点处的切线方程是，

即.

（2）因为，

所以，

，

令，

则，

所以在上单调递增，

因为，

所以，当时，；当时，.

①当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以当时取到极大值，极大值是，

当时取到极小值，极小值是.

②当时，，

当时，，单调递增；

所以在上单调递增，无极大值也无极小值.

③当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以当时取到极大值，极大值是；

当时取到极小值，极小值是.

综上所述：

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.