数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案

这是一份数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案，共10页。教案主要包含了创设问题情境，引出本节内容，实验观察，学以致用，作业布置等内容，欢迎下载使用。

教学流程安排
一、创设问题情境，引出本节内容
来&#源@:^中*教网]1．打篮球不仅增强体质、愉悦身心，还能培养团队精神。今天向大家介绍一种全新的篮球项目----花式篮球，请大家观看花式篮球的视频。
2. 问题： 篮球放在两张凳子之间，经测量两凳子之间的距离AB=24cm，篮球顶端（圆弧的中点）离凳子表面的距离为18cm，则这个篮球的半径为多少cm
24cm

解决这个问题要用到今天所学的知识，由 此 导 入 新 课
二、实验观察、探究新知
【活动一：探究圆的性质】
请同学们将圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
学生活动设计：
可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
教师活动设计：
用圆形纸片演示沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，
【活动二：探究证明垂径定理】源@:中%&教*网^]
将圆形纸片沿直径CD对折，在弧上找一组对称点A与B，连结AB
①CD与AB有怎样的位置关系？为什么？
②你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
学生活动设计：
学生动手操作，观察图形，得^出：CD⊥AB， AM=BM， =，
=。
教师活动设计：
展示垂径定理证明过程。
证明：连接AO、BO,
∵OA=OB，CD⊥AB.，
∴ AM=BM，
∴点A、点B关于直径CD对称，
∴ 点A与点B重合，
∴ 与，与分别重合，
∴ =， =。
学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质,指出垂径定理告诉直径与弦的位置关系得到线段相等和弧相等特别是为我们提供了证明弧相等和确定弧中点的方法。并板书垂径定理的几何语言。
【变式训练,巩固新知一】
1下列图形是否具备垂径定理的条件？
2.如图1，已知⊙O的弦AB=4,圆心O到AB的距离为1,那⊙O的半径为____
3.如图2，已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .若半径R = 5 ，AB = 8 , 则DE 的长________

如图2，已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
若半径R = 5 ，AB = 8 , 则DE 的长________
O
E
D
C
A
B
O
└
┐

B
A
C
C
图2
图1
AA
A

教*
学生活动设计：
学生对比垂径定理条件进行判定，并完成关于垂径定理的练习，熟练定理的运用教师活动设计：
归纳并在课件上展示垂径定理常见的基本图形
【活动三：探究垂径定理推论】源@:中%&教*
若条件为①CD是直径，③AM=BM是否能推得结论：
②CD⊥AB ④ =， ⑤ =呢？
学生活动设计：
证明：连接OA,OB, 则OA=OB.
∵OA=OB，AM=BM.
∴OC⊥AB
∴ =， =(垂径定理）
小组讨论：如果将上面这个命题的题设中“AB为圆O的弦”改为“AB是圆O的直径”，其它不变，命题的结论还成立吗？学生分组讨论，口述讨论结果；教师展示弦AB平移至圆心O出（CD⊥AB),在绕点O旋转（CD不垂直AB)。
【变式训练,巩固新知二】
1.如图1，⊙O的弦AB=6，H为AB的中点，OH=3,则∠OAB= ____度。
2.如图2，⊙O的弦AB=10，C为AB的中点，OC=3,则⊙O的半径为 。
O
O
H
A
B
C
B
A
AA
三、学以致用、用以促学
【实践应用】
例1： 解决求赵州桥主桥拱半径的问题
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 它形势优美，结构坚固,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
解:
O
D
C
R
18.7
A
B
R-7.2

√

[来%源:@ ．
a
·若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示
三者之间关系是___________________________
· 若上面的弓形高为h，则r、d、h之间关系是___________________________
r
学生活动：（1）学生根据实际问题，分析题意，找出相关条件，
画出图形，转化为数学问题。
（2）应用本节课知识确定主拱桥的拱高
运用垂径定理，作辅助线，确定弧AB的中点以及弧AB的中点到弦AB的垂线段。
运用垂径定理推论，作辅助线，确定弧AB的中点和弦AB的垂线，从而得到弧AB的中点以及弧AB的中点到弦AB的垂线段。
（3）利用垂径定理、勾股定理构选图形，或垂径定理推论在图形中作出拱高。
（4）学生独立完成例1过程。
（5）学生看课件对正过程。
师生活动设计：让学生在探究过程中,培养把实际问题转化为数学问题能力，掌握通过作辅助线构造垂径定
√

【变式训练,巩固新知三】

`1.篮球放在两张凳子之间，经测量两凳子之间的距离AB=24cm，篮球顶端（圆弧的中点）离凳子表面的距离为18cm，篮球顶球的半径 为 多少cm？
B
A
24cm
[来源:z#z@s
18cm
A
B
学生活动设计：学生独立完成练习并对正自己过程。
教师活动设计：引导学生通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，并进行几何计算。
小结：运用垂径定理解题关键是连半径，过圆心作弦的垂线段构造直角三角形，并依据勾股定理列方程解方程求线段长。
C
B
课堂小结
这节课我们学到什么？用到哪些方法？
五、作业布置
【必做题】第83页习题1、2。
【选做题】D
拓展提高：已知⊙O 的半径为5，⊙O 的两条平行弦AB＝6， CD＝8，那么AB 与CD 间的距离等________
【课后思考】垂径定理推论还有其它正确形式吗？请大家课后小组讨论并完成证明过程。
六、附：板书设计来^*源:%zzstep.&cm@]

学 生 演 板 区
24．1．2 垂直于弦的直径

= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①CD是直径
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②CD⊥AB于点M
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③AM=BM
④ =
⑤ =
圆是轴对称图形
垂径定理： 垂径定理推论：
   
④  ④
 ⑤ （AB不是直径） ⑤

⊥ 教材分析
本节课是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。
目标分析
知识目标
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明（选学），并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段和连结半径。
能力目标
①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②培养学生用数学思想及思维方式分析和解决实际问题。[ww~
情感态度
①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育；[来*源%:zzs#tep&@.cm]
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
重点
探究、发现、理解和掌握垂径定理。
难点
垂径定理的证明及推论之间的实质性联系和定理的应用。
方法
以探究发现法为主。以圆形纸片为工具，借助多媒体演示辅助教学。
活动流程图
活动内容和目的
活动1 动手动脑做数学
活动2 折纸观察与小组讨论
活动3 观察猜想与证明
例题 、练习
小结，布置作业
探索圆的对称性．
探索垂径定理．
探索垂径定理推论。
巩固对垂径定理的理解以及辅助线的构造．
培养学生的归纳能力，巩固新知．