数学九年级上册2.7 弧长及扇形的面积精品教案设计

课题

2.7弧长及扇形的面积

课型

新授课

总第     课时

授课

时间

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学习

目标

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．理解记忆弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题；

3．渗透转化、类比思想，借助图形面积的和或差计算阴影部分的面积和周长.

学习

重难点

重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用.

难点：弧长与扇形的计算公式的应用，求阴影部分面积和周长.

知识

链接

圆的周长和面积公式，圆中相关的概念.

教学活动过程

教师点拨、修订

一、知识准备

1．圆周长计算公式_______，圆面积计算公式_______.

2．如果一条弧所对的圆心角是120°，那么这条弧长等于这个圆周长的_______.

设计意图：回顾圆中两个计算公式为本节课的学习做好知识准备，同时引入弧长问题，渗透整体思想.

二、问题导学

活动1：扇形的概念——自学课本第83页

问题：

（1）什么样的图形叫做扇形？

（2）扇形的构成要素有哪些？

（3）扇形的周长如何表示？

设计意图：通过学生自学，明确扇形究竟是怎样的一个图形，为后面公式的探究做好铺垫，同时添加了扇形周长公式，将线段长和弧长融合到一起，自然而然引入下一个活动——弧长公式的探究.

活动2：探索弧长计算公式——自学课本第83页

（一）独立思考：如下图，扇形的弧长与那些因素有关？它与所在圆的周长之间存在怎样的关系？

（二）合作完成：

如图，圆的半径为r

（1）试计算圆心角分别为180°、90°、45°所对的弧长.

（2）计算n°的圆心角所对的弧长.

（三）归纳总结：

如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l=         

设计意图：考虑到学生的认知水平和接受能力，设置了从特殊到一般的情景，以问题串的形式，降低了探求知识的难度，容易激发学生的参与意识，主动探究意识.

（四）举例示范：

例1　如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求的长．

设计意图：（1）巩固弧长公式，需要知道弧所对圆心角的度数和半径，学会添加辅助线（连接OB、OC）——构造符合需要的图形.

（2）教师示范，规范答题格式.

（五）阶段检测1：

（1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60º，则圆心角所对的弧长是_____.

（2）已知扇形的圆心角为120º，弧长为20π，则扇形的半径为_____.

（3）已知圆弧的半径为6，弧长是5π，则此圆弧所对的圆心角为____.

设计意图：巩固弧长公式，灵活运用弧长公式——求弧长、求半径、求圆心角度数.

活动3．探索扇形面积计算公式

（一）独立思考：如下图，扇形的面积与那些因素有关？它与所在圆的面积之间存在怎样的关系

（二）合作完成：

如图，圆的半径为r

（1）试计算圆心角分别为180°、90°、45°扇形的面积；.

（2）计算n°的圆心角扇形的面积.

设计意图：仿照弧长公式的探究过程，采用类比的方法探究扇形面积公式，学生熟练，节省时间.

（三）归纳总结：

在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S=____  ___=         .

（四）阶段检测2：

（1）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形面积为____ .

（2）（17泰州）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则这个扇形的面积为______.

（3）已知扇形面积为6π，半径为4，求扇形的弧长.

设计意图：及时巩固计算扇形面积的两个公式，恰当选择面积计算公式.

三、典型例题——阴影面积的计算

例2　如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．

设计意图：求阴影图形的面积是中考常考查的的知识点.本节课渗透阴影面积的求法指向性明确：让学生明确阴影部分的构成，阴影部分的转化——转化成熟悉的图形（本例题是转化成两个扇形面积的差）.

变式：试求阴影图形的周长.

设计意图：让学生明确图形的构成——线段和弧，然后分别求它们的长度，进一步巩固弧长公式.

拓展提升

如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与围成的阴影部分的面积

变式1：阴影图形的周长.

变式2：若P为AB上一动点，链接PC、PD，则阴影PCD的面积是否变化？周长是否变化，若变化，求出周长的最值.

设计意图：

（1）使学生学会将不规则的图形转化为规则、熟悉的图形，再计算面积（本题将阴影转化为扇形OCD）；

（2）将动点问题渗透在圆中，从中寻找不变量和变量，培养学生分析问题综合运用知识的能力.

四、课堂小结

知识内容——数学思想、方法——收获与不足

1．弧长公式、扇形面积公式、周长公式；

2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；       

3．数学思想方法的应用：

　　①转化思想；②整体思想；

    ③类比思想；④数形结合思想 ．

设计意图：回顾本节流程，整理本节知识、方法、数学思想，形成简单知识树，感悟收获，明确不足.

五、课堂检测

1．扇形的圆心角是45°，扇形半径为8，则扇形弧长为______，面积为____________.

2．已知扇形的圆心角是30°，弧长为π，则扇形的半径为______，面积为____________.

3. 如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°，求这段铁轨的长度.

4．如图1，圆O的半径为5，A是圆O外一点，AB切圆O于点B，AO交圆O于点 C，点C为OA的中点  .

（1）求弧BC的度数；

（2）求阴影部分面积和周长

设计意图：检查学生对本节课所学内容的掌握情况，教师对于掌握不好的知识点及时进行评讲、补救，让学生明确注意的地方和努力的方向，考查学生综合运用直角三角形和等边三角形的判定和性质的能力.

指导学生画图，默写公式，解释公式中各个量的含义；明确弧不仅有度数还有长度，直观感受弧长与圆周长之间的关系.

引导学生带着问题自学，指导学生画扇形，体会扇形的构成.

合作、交流、总结：

指导学生合作，指出关键之处：弧的度数和整个圆的度数（360°）之间的关系.

建议：在探究时，再细化：将圆等分为360份，每一份弧的长度为多少？

抽查学生对公式的理解记忆以及对公式中各个量含义的理解.

建议：分组合作完成对公式的变形，推导出n和r的计算公式.（不要求学生记忆）

学生思考并分析，小组内互讲，学生代表试讲.教师板书，规范答题格式.

总结辅助线的添加方法及运用的知识点：

（1）连半径，构造圆心角；（2）圆心角与圆周角关系；（3）弧长公式.

学生板演，互查，互批，纠正.

结合弧长公式探究方法，学生分组完成，教师关注各组进度及完成情况，及时点拨.

小组展示，总结

建议：结合弧长及扇形面积公式的结构，探索二者之间的关系（类似于三角形的面积计算公式）.

抽查学生理解记忆公式情况，逐个落实.

总结：无论是哪个公式，都需要知道扇形半径.

调动学生去发现计算面积的方法.让学生讲解，教师板书.

建议：强化理解记忆扇形面积公式，注意与弧长公式的区别——分母及半径的指数.

从不同角度去认识阴影图形，渗透本节所学公式，并高于本节所学内容.

分组讨论，教师指导，组内互助，互讲.

小组展示、补充.

总结：利用“同底等高”将三角形ACD的面积转化为三角形OCD的面积，从而阴影面积转化为扇形OCD的面积.

指导学生完成作图，合作探求方法和结论，指出运用知识要点.

放手学生总结，相互补充（从不同角度总结），

教师适时引导.

教师巡视，学生独立完成测试.

出示答案，教师根据巡视结果及学生答题情况进行点评.

学生互讲、总结.

板书设计：

                          2 .7 弧长及扇形的面

一、扇形的概念       二、弧长公式       三、扇形面积公式.    四、阴影面积

1.概念：               1.活动探究 ：      1.活动探究：            例2：

2.构成：               2.公式：           2.公式（两个）：         拓展提升：

3.扇形周长：           3.例1：

教后反思：

    本节课是在小学已经学习过圆的周长、面积公式和初三已经学过圆的相关概念和性质基础上展开的，学生已经具备了一定的知识基础和学习能力.在编排本节课时，先从已学知识入手，为本节课的探究做好了知识准备，再通过学生自学的方式更深的了解了扇形的概念和构成，自然而然的总结得出了扇形的周长公式.紧接着安排了两个探究活动，以小组合作的方式进行，设计了问题串，由浅入深、逐层推进，并且采用了类比的方式进行，学生积极性较高，活动较为充分，效果良好.此外安排了两个例题，对学生的书写格式进行了规范，对例2及拓展提升进行了变式训练，提升了学生分析问题、解决问题的能力，还设计了两个阶段检测，及时对所学知识进行了巩固和检查.本节课也存在这一些瑕疵：（1）虽然安排了探究活动，但学生参与的不够深入，配合还需要优化；（2）对于变式训练，学生说的多做得少，没有落实到纸上；（3）课堂检测时间仓促，安排不够合理等.对策：深入教材，了解学生，优化课堂环节，详略得当，各个环节活动要合理，时间要充分，学生要投入、深入，教师点拨及时、准确、到位.