初中数学北师大版八年级上册第二章 实数综合与测试随堂练习题

这是一份初中数学北师大版八年级上册第二章 实数综合与测试随堂练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2019·天门)下列各数中，是无理数的是(D)
A．3.1415 B． eq \r(4) C． eq \f(22,7) D． eq \r(6)
2．(2019·绵阳)若 eq \r(a) ＝2，则a的值为(B)
A．－4 B．4 C．－2 D． eq \r(2)
3．(2019·云南)要使 eq \f(\r(x＋1),2) 有意义，则x的取值范围为(B)
A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－1
4．(2019·益阳)下列运算正确的是(D)
A． eq \r(（－2）2) ＝－2 B．(2 eq \r(3) )2＝6 C． eq \r(2) ＋ eq \r(3) ＝ eq \r(5) D． eq \r(2) × eq \r(3) ＝ eq \r(6)
5．(2019·河南)下列计算正确的是(D)
A．2a＋3a＝6a B．(－3a)2＝6a2 C．(x－y)2＝x2－y2 D．3 eq \r(2) － eq \r(2) ＝2 eq \r(2)
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|，则化简 eq \r(a2) －|a＋b|的结果为( C )
A.2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
7．下列说法：①5是25的算术平方根；② eq \f(5,6) 是 eq \f(25,36) 的一个平方根；③(－4)2的平方根是－4；④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1.其中正确的个数有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．(2019·南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3(如图).以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(C)
A.1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
9．(泸州中考)已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦(Hern，约公元50年)给出求其面积的海伦公式S＝ eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）) ，其中p＝ eq \f(a＋b＋c,2) ；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202－1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝ eq \f(1,2) eq \r(a2b2－（\f(a2＋b2－c2,2)）2) ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是( B )
A． eq \f(3\r(15),8) B． eq \f(3\r(15),4) C． eq \f(3\r(15),2) D． eq \f(\r(15),2)
10．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： eq \f(2＋\r(3),2－\r(3)) ＝ eq \f(（2＋\r(3)）（2＋\r(3)）,（2－\r(3)）（2＋\r(3)）) ＝7＋4 eq \r(3) ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 eq \r(3＋\r(5)) － eq \r(3－\r(5)) ，设x＝ eq \r(3＋\r(5)) － eq \r(3－\r(5)) ，易知 eq \r(3＋\r(5)) ＞ eq \r(3－\r(5)) ，故x＞0，由x2＝( eq \r(3＋\r(5)) － eq \r(3－\r(5)) )2＝3＋ eq \r(5) ＋3－ eq \r(5) －2 eq \r(（3＋\r(5)）（3－\r(5)）) ＝2，解得x＝ eq \r(2) ，即 eq \r(3＋\r(5)) － eq \r(3－\r(5)) ＝ eq \r(2) .根据以上方法，化简 eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)＋\r(2)) ＋ eq \r(6－3\r(3)) － eq \r(6＋3\r(3)) 后的结果为(D)
A．5＋3 eq \r(6) B．5＋ eq \r(6) C．5－ eq \r(6) D．5－3 eq \r(6)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2019·河南)计算： eq \r(4) －2－1＝1 eq \f(1,2) ．
12．(2019·宁波)请写出一个小于4的无理数： eq \r(15) ．
13．(2019·滨州)计算：(－ eq \f(1,2) )－2－| eq \r(3) －2|＋ eq \r(\f(3,2)) ÷ eq \r(\f(1,18)) ＝2＋4 eq \r(3) ．
14．(2019·青海)根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y值等于－2．
15．(2019·枣庄)观察下列各式：
eq \r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22)) ＝1＋ eq \f(1,1×2) ＝1＋(1－ eq \f(1,2) )， eq \r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32)) ＝1＋ eq \f(1,2×3) ＝1＋( eq \f(1,2) － eq \f(1,3) )，
eq \r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42)) ＝1＋ eq \f(1,3×4) ＝1＋( eq \f(1,3) － eq \f(1,4) )，…
请利用你发现的规律，计算：
eq \r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22)) ＋ eq \r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32)) ＋ eq \r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42)) ＋…＋ eq \r(1＋\f(1,20182)＋\f(1,20192)) ，其结果为2018 eq \f(2018,2019) ．
三、解答题(共75分)
16．(8分)计算：
(1)(2019·十堰)(－1)3＋|1－ eq \r(2) |＋ eq \r(3,8) ； (2)1＋( eq \f(1,2) )－1－ eq \r(（\r(3)－2）2) ÷( eq \f(1,3－\r(3)) )0.
解：原式＝ eq \r(2) 解：原式＝1＋ eq \r(3)
17．(9分)先化简，再求值：
(1)(a－2b)(a＋2b)＋ab3÷(－ab)，其中a＝ eq \r(2) ，b＝ eq \r(3) ；
解：原式＝a2－5b2＝－13
(2)(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－ eq \r(3) .
解：原式＝x2－5＝－2
18．(9分)计算：
(1) eq \r(32) ＋ eq \r(50) ＋ eq \f(1,3) eq \r(45) － eq \r(18) ； (2)2 eq \r(2) ÷ eq \f(5,\r(2)) × eq \f(1,2) eq \r(\f(3,4)) ；
解：原式＝6 eq \r(2) ＋ eq \r(5) 解：原式＝ eq \f(\r(3),5)
(3)( eq \r(6) －4 eq \r(\f(1,2)) ＋3 eq \r(8) )÷2 eq \r(2) .
解：原式＝ eq \f(1,2) eq \r(3) ＋2
19．(9分)已知实数x，y满足x＋y＝－7，xy＝12，求y eq \r(\f(x,y)) ＋x eq \r(\f(y,x)) 的值．
解：因为x＋y＝－7，xy＝12，所以x<0，y<0，所以y eq \r(\f(x,y)) ＋x eq \r(\f(y,x)) ＝－ eq \r(xy) － eq \r(xy) ＝－2 eq \r(xy) ＝－2 eq \r(12) ＝－4 eq \r(3)
20．(9分)甲同学用如下图所示的方法作出了C点，表示数 eq \r(13) ，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O，A，C在同一数轴上，OB＝OC.
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－ eq \r(29) 的点F.
解：(1)在Rt△OAB中，由勾股定理得OB2＝OA2＋AB2，所以OC＝OB＝ eq \r(OA2＋AB2) ＝ eq \r(22＋32) ＝ eq \r(13) ， 即点C表示数 eq \r(13)
(2)画图略．在△ODE中，∠EDO＝90°，OD＝5，DE＝2，则OF＝OE＝ eq \r(29) ，即F点为－ eq \r(29)
21．(10分)如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．
(1)如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？
(2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3， eq \r(5) ，2 eq \r(2) .
解：(1)AB＝4，AC＝ eq \r(32＋32) ＝3 eq \r(2) ，BC＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ，所以AB的长度是有理数，AC和BC的长度是无理数
(2)图略
22．(10分)小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形，并使长方形纸片的长宽之比为3∶2，请问小丽能否剪出符合要求的长方形纸片，请说明理由．
解：小丽不能剪出符合要求的长方形纸片．理由为：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm，由题意则有：3x·2x＝300，6x2＝300，x2＝50，所以x＝ eq \r(50) ，所以长方形纸片的长为3x＝3 eq \r(50) ，又因为 eq \r(50) > eq \r(49) ＝7，所以3x＝3 eq \r(50) >21(cm)，而原正方形纸片的边长为20 cm，故小丽不能剪出符合要求的长方形纸片
23．(11分)阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 eq \f(5,\r(3)) ， eq \f(2,\r(3)＋1) 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
(一) eq \f(5,\r(3)) ＝ eq \f(5×\r(3),\r(3)×\r(3)) ＝ eq \f(5,3) eq \r(3) ；
(二) eq \f(2,\r(3)＋1) ＝ eq \f(2×（\r(3)－1）,（\r(3)＋1）（\r(3)－1）) ＝ eq \f(2（\r(3)－1）,（\r(3)）2－1) ＝ eq \r(3) －1；
(三) eq \f(2,\r(3)＋1) ＝ eq \f(3－1,\r(3)＋1) ＝ eq \f(（\r(3)）2－12,\r(3)＋1) ＝ eq \f(（\r(3)＋1）（\r(3)－1）,\r(3)＋1) ＝ eq \r(3) －1.
以上这种化简的方法叫分母有理化.
(1)请用不同的方法化简 eq \f(2,\r(5)＋\r(3)) ：
①参照(二)式化简 eq \f(2,\r(5)＋\r(3)) ；
②参照(三)式化简 eq \f(2,\r(5)＋\r(3)) ；
(2)化简： eq \f(1,\r(3)＋1) ＋ eq \f(1,\r(5)＋\r(3)) ＋ eq \f(1,\r(7)＋\r(5)) ＋…＋ eq \f(1,\r(99)＋\r(97)) .
解：(1)①原式＝ eq \f(2×（\r(5)－\r(3)）,（\r(5)＋\r(3)）（\r(5)－\r(3)）) ＝ eq \f(2（\r(5)－\r(3)）,（\r(5)）2－（\r(3)）2) ＝ eq \r(5) － eq \r(3)
②原式＝ eq \f(5－3,\r(5)＋\r(3)) ＝ eq \f(（\r(5)）2－（\r(3)）2,\r(5)＋\r(3)) ＝ eq \f(（\r(5)＋\r(3)）（\r(5)－\r(3)）,\r(5)＋\r(3)) ＝ eq \r(5) － eq \r(3)
(2)原式＝ eq \f(\r(3)－1,2) ＋ eq \f(\r(5)－\r(3),2) ＋ eq \f(\r(7)－\r(5),2) ＋…＋ eq \f(\r(99)－\r(97),2) ＝ eq \f(\r(99)－1,2) ＝ eq \f(3\r(11)－1,2)