初中数学人教版七年级上册1.5.1 乘方导学案

这是一份初中数学人教版七年级上册1.5.1 乘方导学案，共18页。学案主要包含了典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题1.5.1 有理数的乘方（知识讲解）答案解析
　【典型例题】
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．填表：
乘方
65
(－5)4

－27
底数




指数




【分析】根据有理数乘方的定义解答即可．
解：填表如下：

【点拨】本题考查了有理数乘方的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．
举一反三：
【变式1】 把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：
（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）．
【答案】（1）（﹣3）3，底数为﹣3，指数为3；（2）（+）4，底数为+，指数为4．
【分析】（1）（2）都是相同的几个数字相乘，根据乘方的定义即可解答.
解：（1）(﹣3)×(﹣3)×(﹣3)＝(﹣3)3，底数为﹣3，指数为3；
（2）＝4, 底数为+，指数为4.
【点拨】求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作an，其中a叫做底数，n叫做指数.
【变式2】小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣3）x+3=1，求x的值，他解出来的结果为x=2，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？
小明解答过程如下：
解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣3=1，x=2．且2+3=5
故（2x﹣3）x+3=（2×2﹣3）2+3=15=1，所以x=2
你的解答是：
【答案】x=2或3或1．
【解析】试题分析：分别从底数等于1，底数等于 - 1且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．
解：①∵1的任何次幂为1，所以2x - 3=1，x=2．且2+3=5，
∴（2x - 3）x+3=（2×2 - 3）2+3=15=1，
∴x=2；
②∵ - 1的任何偶次幂也都是1，
∴2x - 3= - 1，且x+3为偶数，
∴x=1，
当x=1时，x+3=4是偶数，
∴x=1；
③∵任何不是0的数的0次幂也是1，
∴x+3=0，2x - 3≠0，
解得：x= - 3，
综上：x=2或3或1．
【点拨】此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．
类型二、有理数乘方的运算
2．计算：（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．
【答案】 - 90.
【分析】根据有理数混合运算的运算顺序, 先算乘方再算乘除最后算加减, 计算即可.
. 原式=﹣48÷（﹣8）﹣100+4
=6﹣100+4=﹣90．
【点拨】本题考查的是有理数的混合运算能力. 注意要正确掌握运算顺序.

举一反三：
【变式1】计算：﹣32+[9﹣（﹣6）×2]÷（﹣3）
【答案】 - 16.
【分析】原式先计算乘方运算,再计算括号内及乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.
解：原式=﹣9+（9+12）÷（﹣3）
=﹣9+21÷（﹣3）
=﹣9+（﹣7）
=﹣16．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【变式2】 小明做了这样一道题，他的方法如下：
．
请你用他的方法解下面题目．
设，，求的值．
【答案】 - 1
【分析】先根据小明的方法求出M，N的值，然后代入代数式去接即可；
解：∵，
．
∴．
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，准确计算是解题的关键．
类型三、有理数乘方的逆运算
3、若，，且x＜y，求：的值.
【答案】 - 8或 - 4.
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再判断出x、y的对应情况，然后相减计算即可得解．
解：∵|x|=6，y2=4，
∴x=±6，y=±2，
∵x100，∴输出 - 558．若输入的数是－4，得到（ - 4 - 8）×9= - 12×9= - 108，因为| - 108|>100，∴输出 - 108．
答：若输入的数是2，则输出的数是－558；若输入的数是－4，则输出的数是－108．
【点拨】本题考查程序框图、有理数的混合运算和绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】如图，按程序框图中的顺序计算，当运算结果小于或等于100时，则将此时的值返回第一步重新运箅，直至运算结果大于100才输出最后的结果.若输入的初始值为1，则最后输出的结果是多少？

【答案】256
【分析】把1代入依次计算，当结果大于100时输出.
解：1×÷（ - ）= - 2＜100；
- 2×÷（ - ）=4＜100；
4×÷（ - ）= - 8＜100；
- 8×÷（ - ）=16＜100；
16×÷（ - ）= - 32＜100；
- 32×÷（ - ）=64＜100；
64×÷（ - ）= - 128＜100；
- 128×÷（ - ）=256＞100；
故输出为256.
【点拨】本题考查循环结构，通过运算规则求解最后运算结果，是算法中一种常见的题型．
类型九、“24”点运算
9、暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：

（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．
这两张卡片上的数字分别是 ，积为 _．
（2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．
这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ．
（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）
【答案】（1）－5和－3，15 ； (2) －5和＋3， ； (3)（答案不唯一）
【分析】
(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可.
(2)要想商最小，必须商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可.
(3)把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24，然后找到合适的卡片能够通过运算得到24的因数即可.
解：(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘
则有（+3）×（+4）=12，（ - 5）×（ - 3）=15
积最大为15，所以选择卡片 - 5和卡片 - 3
(2) 要想商最小，必须商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值.
则有( - 5)÷3=，( - 5)÷4=，4÷（ - 3）=
商最小为，所选择卡片 - 5和卡片+3
(3) 把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24等形式.
当2×12=24时，2=（ - 3） - （ - 5），12=3×4
则[( - 3) - ( - 5)]×3×4=12
故选择卡片数字为： - 3， - 5，+3，+4
当3×8=24时，可得 - 3×（ - 8）=24，则 - 8=（ - 5） - 3
则 - 3×[( - 5) - 3]=24.
同理可继续推导.
故答案为（1）－5和－3，15 ；(2) －5和＋3；(3)（答案不唯一）
【点拨】本题综合性的考察了有理数的计算，因为正数大于负数，所以在本题中务必理解两个数乘积最大值只有在正数里面选择，两数商最小值，只有在负数里面选择.
举一反三：
【变式1】做游戏：点游戏是利用扑克牌中的张（去掉大王、小王），任意抽取张，利用混合运算，可以是加、减、乘、除法，也可以是乘方（底数、指数均是这个数之中的），只要结果得到即可．（每个数都要用且只能用一次）
【答案】[5÷（ - 5）+9]×3=24．（答案不唯一）
【分析】假设抽取的4张扑克：黑桃3，梅花5，红桃5，黑桃9；首先用5除以 - 5，构造出 - 1；然后用 - 1加上9，构造出8，再用8乘3，即可使其结果等于24．
解：解：抽取的4张扑克：黑桃3，梅花5，红桃5，黑桃9.
[5÷（ - 5）+9]×3=24．
故答案为：[5÷（ - 5）+9]×3=24．（答案不唯一）
【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式2】如图，现有5张写着不同数的卡片，请按要求完成下列问题：

（1）从中任选2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，则该乘积的最大值是多少？
（2）从中任选4张卡片，用卡片上的数和加、减、乘、除四则运算（可用括号，每个数都要用且只能用一次）列出两个不同的算式（每个算式可选用不同的卡片），使其计算结果为24．
【答案】（1）18；（2）（答案不唯一）
【分析】
（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数，所以选−6和−3；
（2）根据有理数的混合运算即可求解.
解：解：（1）依题意选−6和−3
（−6）×（−3）=18，
∴此时乘积的最大值为18；
（2）答案不唯一：如；.
【点拨】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力．
类型十、含乘方的有理数运算
10、计算：．
【答案】 - 9.
【分析】原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
解：原式．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）（－1）2×5＋（－2）3÷4； （2）24＋÷＋|－22|
【答案】（1）3；（2）19
【解析】
试题分析：（1）按照先算乘方，再算乘除，后算加减的顺序计算；（2）按照先算乘方，再算乘除，后算加减的顺序计算，部分可按照乘法分配律计算.
解：（1）（－1）2×5＋（－2）3÷4
=1×5+( - 8) ×
=5 - 2
=3 ；
（2）
=
=
=15 - 16 - 2+22
=19.
【变式2】计算：．
【答案】 - 5
【分析】根据有理数的运算法则计算即可得到答案．
解：



．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键．
类型十一、计算器 - 有理数
11、用计算器求下列各式的值:
(1)24.12×2+3.452×4.2；(精确到0.1)；
(2)(2.42 - 1.32)×3.1+4.13；(精确到0.01)
【答案】（1）1161.62；（2）81.538.
【解析】试题分析：先计算，再四舍五入.
(1) 24.12×2+3.452×4.2= 1211.6105.
(2) (2.42 - 1.32)×3.1+4.13=81.538
举一反三：
【变式1】利用计算器计算( - 8.9)×( - 11.2)
【答案】99.68
【解析】试题分析：利用计算器计算即可，注意按键顺序.
试题解析：
先输入—8.9，然后输入乘号，最后输入—11.2，即可得答案是99.68.
【变式2】有一张厚度是0.1的纸，假设我们能将它连续对折30次，这时它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔吗？请用计数器帮你得出答案.
【答案】能，107374.1824m
【分析】每对折一次即扩大1倍，对折30次相当于扩大230倍．
解：0.1×2 =107374182.4mm=107374.1824m>8845m.
答：将一张厚度是0.1mm的纸,连续对折30次后,它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔高度(8845米)
【点拨】此题考查计算器—有理数，解题关键在于熟练运用计算器.