高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.1 集合及其表示方法教学设计

集合及其表示方法

【教材分析】

集合是是高中数学的基础，集合作为一种数学思想在其它一些章节中也都有渗透，因此学好这一章内容是十分关键的。本章又是高中数学课程的起始章，内容有一定的抽象性，因此设计好这一章内容的教学不但对学生的知识掌握情况而且对学生能否入门高中数学都是很重要的。本节内容主要学习集合的概念，集合的表示方法，同时培养学生用区间来表示集合，通过学习使学生感受到用集合来表示数学内容时的简洁性、准确性，并使学生能用集合语言简洁、准确地表示数学对象，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。

【教学目标与核心素养】

【教学重难点】

重点：集合的基本概念与表示；用区间表示集合。

难点：用集合的两种常用表示法――列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

【教学过程】

一、集合

1．情境与问题：

在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……

你能说出数学中其他分离实例吗？试着分析为什么要进行分类。

【设计意图】通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂。

【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。

2．探究新知

（1）在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称：集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。

集合通常用英文大写字母A，B，C，……表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，……表示。

（2）元素与集合的关系：属于或不属于

如果a是集合A的元素，记作a，读作：a属于A；

如果a不是集合A的元素，记作a，读作：a不属于A。

3．尝试与发现

你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么？

（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0      A， 0.5       A

（2）如果B是由方程所组成的集合，则      B，  0      B，  1      B

（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长的点组成的集合，则对于以O为圆心，r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P       C

（4）方程的所有解组成的集合，则集合中的元素是什么？

【设计意图】通过让学生举例，清楚元素与集合之间关系。锻炼学生思维辩证能力。通过（4）题，理解空集。

【师生活动】学生通过理解元素与集合的关系，独自完成（1）（2）（3）。第（4）题教师进行点评和补充，得到空集的概念和理解。

解：（1）        （2）        （3）   （4）不含任何元素，此集合为空集。

4．深化认知

【设计意图】培养学生分析和归纳的能力

【师生活动】学生通过学习集合的相关概念，分小组讨论，得出集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

5．尝试与发现

（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？

（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？

（3）不等式的所有解能组成一个集合吗？

思考：（1）给定集合A和B，如何定义两集合相等即A=B？

（2）集合按含有的元素个数如何分类？

【设计意图】实现学生对本节知识的应用，完成学生学习的“实践——认识——再实践”过程，培养学生分析和归纳的能力。思考部分可自主探究，形成结论。

【师生活动】学生分析解答，可以自主纠错。（1）可以组成集合（2）由于高个子不满足确定性，故不能组成集合（3）可以组成集合。由此，完成思考部分。

（1）给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B。

（2）集合按含有元素的个数可分为有限集和无限集。其中，空集包含0个元素，所以空集是有限集。

不难看出，依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即AA。因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即A。

二、几种常见的数集

1．自主阅读、探求新知

［阅读教材，完成问题］实数集是如何分类的？用字母怎样表示？

2．深化认知

用或填空：

（1）0          Z

（2）          Q

（3）如果，那么              N

【设计意图】本环节既是对学生自主阅读环节的反馈，也是对学生归纳、表达能力的培养。与传统的灌输式教学相比较，这一环节更体现了平等和谐的师生关系。

【师生活动】（1）学生通过阅读课本和初中所学的知识，清楚实数集的构成及其掌握用符号表示几种常见的数集；（2）学生回答，教师指导。

解：（1）   （2）   （3）

三、集合的表示方法

1．列举法

（1）定义：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。

（2）用列举法表示下列集合：

（1）有两个元素0和1组成的集合

（2）24的所有正因数组成的集合

（3）中国古典长篇小说四大名著组成的集合

（4）不大于100的自然数组成的集合

（5）自然数集N

【师生活动】通过列举法的定义，学生回答，教师分析指导。

（1）；（2）；（3）{《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》}

（4）如果一个集合元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。所以答案为{0，1，2，3，…，100}

（5）无限集有时也可用列举法表示。答案为{0，1，2，3，…，n，…}

2．描述法

（1）尝试与发现

以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？

（2）满足的所有数组成的集合A；

（3）所有有理数组成的集合Q。

3．学习新知

用集合的特征性质表示集合的方法称为描述法。形式：

【设计意图】通过实例，提取数学概念，使其更通俗易懂。培养学生观察，分析，归纳的能力。

【师生活动】老师组织学生分组讨论，汇集结论提取描述法的概念，进一步理解描述法表示集合。

四、经典例题

例1．用适当的方法表示下列集合：

（1）方程的所有解组成的集合A；

（2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B。

想一想：

判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法。

【设计意图】锻炼学生分析问题、解决问题的能力。

【师生活动】学生完成，教师点评，并思考选用哪种表示方法合适。

五、区间及其表示

阅读课本p7，完成下表。

如果则

在区间中，a，b分别是区间的左、右端点，为区间的长度，区间还可以用数轴形象的表示。如果用表示“正无穷大”，如果用表示“正无穷大”，则实数集R可表示为

完成下表格：

【设计意图】本环节既是对学生自主阅读环节的反馈，也是对学生归纳、表达能力的培养。

【师生活动】教师先让学生阅读课本，学生先独立完成表，教师点评，然后讲述正无穷大和负无穷大的定义后，学生小组交流，老师点评，总结错误原因。

经典例题：

例2．用区间表示不等式的所有解组成的集合A。

解：由可知，所以A=

【师生活动】学生完成，教师点评

六、练习反馈，培养能力

练习A（教材P8）

【设计意图】通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏。

【师生活动】学生回答，教师点评。

七、课堂小结

回顾本节课，你有什么收获？

【师生活动】学生可以从以下四点分别回答：

1．集合  2．常见的数集  3．列举法和描述法  4．区间及其表示

作业：教材P9  练习B