专题16 圆锥曲线的基本量问题-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

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【自主热身，归纳总结】
1、双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的渐近线方程为________．
【答案】： eq \r(3)x±2y＝0
eq \a\vs4\al(思路分析) 把双曲线方程中等号右边的1换为0，即得渐近线方程．
该双曲线的渐近线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝0，即eq \r(3)x±2y＝0.
2、 已知椭圆C的焦点坐标为F1(4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，则椭圆C的标准方程为 ．
【解析】 AF1+ AF2=，椭圆C的标准方程为．
3、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，eq \r(3))，则双曲线C的焦距为________．
【答案】. 4eq \r(3)
解法1 与双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1有公共的渐近线的双曲线C的方程可设为x2－eq \f(y2,3)＝λ，又它经过点P(－2，eq \r(3))，故4－1＝λ，即λ＝3，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1，故a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，c＝2eq \r(3)，2c＝4eq \r(3).
解法2 因为双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，且双曲线C过点P(－2，eq \r(3))，它在渐近线y＝－eq \r(3)x的下方，而双曲线C与x2－eq \f(y2,3)＝1具有共同的渐近线，所以双曲线C的焦点在x轴上，设所求的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\r(3)，,\f(4,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝3，,b2＝9，))从而c＝2eq \r(3)，故双曲线C的焦距为4eq \r(3).
4、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ．
【解析】 由，得．
【变式2】、已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
【答案】 eq \r(2)－1
解法1 由抛物线方程可得，焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c)．故eq \f(p,2)＝c，将y＝c代入椭圆方程可得x＝±eq \f(b2,a).又抛物线通径为2p，所以2p＝eq \f(2b2,a)＝4c，所以b2＝a2－c2＝2ac，即e2＋2e－1＝0，解得e＝eq \r(2)－1.
解法2 由抛物线方程以及直线y＝eq \f(p,2)可得，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，\f(p,2))).又eq \f(p,2)＝c，即Q(2c，c)，代入椭圆方程可得eq \f(c2,a2)＋eq \f(4c2,b2)＝1，化简可得e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2eq \r(2)，e2＝3＋2eq \r(2)＞1(舍去)，即e＝eq \r(3－2\r(2))＝eq \r(2)－1(负值舍去)．
解后反思 本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查．这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示．本题有两个解法，解法1将直线y＝c与抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法2简单．
【变式3】、如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】：
思路分析1：由于，故可将Q点的坐标用A，P的坐标表示出来，利用点Q在椭圆上，得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。
解法1因为是等腰三角形，所以，故，又，所以，由点在椭圆上得，解得，故离心率。
思路分析2：由于点Q是直线AP与椭圆的交点，故将直线AP方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点Q的坐标，再由得到点Q的坐标，由此得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。
解法2 因为是等腰三角形，所以，故设直线与椭圆方程联立并消去得：，从而，即，又由，得，故，即，故。
【关联1】、在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．
【答案】. (1，eq \r(2))
【解析】：双曲线的渐近线为y＝eq \f(b,a)x，y＝－eq \f(b,a)x，依题意有－eq \f(b,a)>－1，即b0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．
规范解答 (1)由题意知，eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1,2a＝4. (2分)
解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. (4分)
(2) 解法1 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则ON的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，\f(y2,2)))，PM的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x1,2)，\f(\f(3,2)＋y1,2))).
因为四边形POMN是平行四边形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x1,2)＝\f(x2,2)，,\f(\f(3,2)＋y1,2)＝\f(y2,2).)))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝x2－1，,y1＝y2－\f(3,2).)))(6分)
由点M，N是椭圆C上的两点，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,2)＋4y\\al(2,2)＝12，,3x2－12＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2－\f(3,2)))2＝12.)))(8分)
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2，,y2＝0)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－1，,y2＝\f(3,2).))) (12分)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2，,y2＝0，)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝－\f(3,2).)))由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－1，,y2＝\f(3,2)，)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－2，,y1＝0.)))
所以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，点N(2,0)；或点M(－2,0)，
点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))).(14分)
解法2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形POMN是平行四边形，所以eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))，
所以(x2，y2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))＋(x1，y1)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝1＋x1，,y2＝\f(3,2)＋y1，))(6分)
由点M，N是椭圆C上的两点，
所以 (8分)
用②－①得x1＋2y1＋2＝0，即x1＝－2－2y1，
代入(1)中得3(－2－2y1)2＋4yeq \\al(2,1)＝12，整理得2yeq \\al(2,1)＋3y1＝0，所以y1＝0或y1＝－eq \f(3,2)，于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－2，,y1＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝－\f(3,2)，))(12分)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－2，,y1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－1，,y2＝\f(3,2).))由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝－\f(3,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2，,y2＝0.)))
所以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，点N(2,0)；或点M(－2,0)，
点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))).(14分)
解法3 因为四边形POMN是平行四边形，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，
因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，所以|MN|＝|OP|＝eq \r(1＋\f(9,4))＝eq \f(\r(13),2)，且kMN＝kOP＝eq \f(3,2)，(6分)
设直线MN方程为y＝eq \f(3,2)x＋m(m≠0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，)))得3x2＋3mx＋m2－3＝0，(*)
所以Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)>0，即m2－12