专题06 三角函数的图像与性质-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

这是一份专题06 三角函数的图像与性质-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点，主要包含了自主热身，归纳总结，问题探究，变式训练等内容，欢迎下载使用。
【自主热身，归纳总结】
1、已知锐角θ满足tanθ＝eq \r(6)csθ，则eq \f(sinθ＋csθ,sinθ－csθ)＝________．
【答案】： 3＋2eq \r(2)
【解析】： 由tanθ＝eq \r(6)csθ得sinθ＝eq \r(6)cs2θ，即sinθ＝eq \r(6)(1－sin2θ)，解得sinθ＝eq \f(\r(6),3)(负值已舍去)，csθ＝eq \f(\r(3),3)，代入eq \f(sinθ＋csθ,sinθ－csθ)，可得结果为3＋2eq \r(2).
2、在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．
【答案】： eq \f(9,7)
【解析】：由三角函数的定义可知tanα＝eq \f(2,1)＝2，tanβ＝eq \f(1,5)，故tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(2－\f(1,5),1＋2×\f(1,5))＝eq \f(9,7).
3、 函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像两相邻对称轴的距离为________．
【答案】： eq \f(π,2)
【解析】：由题知函数最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即eq \f(π,2).
4、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)，则实数ω的值为________．
【答案】： 4
【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,ω)，从而ω＝4.
5、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．
【答案】： －1
【解析】：由题意，A＝2，T＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))×4＝3π＝eq \f(2π,ω)，即ω＝eq \f(2,3)，解得eq \f(2π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，因为|φ|＜π，所以φ＝－eq \f(π,6)，所以f(－π)＝2sin(－eq \f(2,3)π－eq \f(π,6))＝－1.
eq \a\vs4\al(解后反思) 依图求函数y＝Asin(ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．
6函数f(x)＝cseq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)－\r(3)cs\f(x,2)))的最小正周期为________．
【答案】2π
【解析】：因为f(x)＝cseq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)－\r(3)cs\f(x,2)))＝eq \f(1,2)sinx－eq \r(3)·eq \f(1＋csx,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，所以最小正周期为2π.
7、将函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图像向右平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.
【答案】：. eq \f(5π,12)
8、 若函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为π，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值是________．
【答案】： eq \f(1,2)
【解析】：因为f(x)的最小正周期为π，所以eq \f(2π,ω)＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，从而feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(2π,3)＋eq \f(π,6)＝sineq \f(5π,6)＝eq \f(1,2).
9、 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，csα＝eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，则csβ＝________.
【答案】：－eq \f(4＋6\r(2),15)
【解析】： 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，csα＝eq \f(1,3)，所以sinα＝eq \f(2\r(2),3).又α＋β∈eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)＜0，所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，故cs(α＋β)＝－eq \f(4,5)，从而csβ＝cs(α＋β－α)＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα＝－eq \f(4,5)×eq \f(1,3)－eq \f(3,5)×eq \f(2\r(2),3)＝－eq \f(4＋6\r(2),15).
10、 若tanβ＝2tanα，且csαsinβ＝eq \f(2,3)，则sin(α－β)的值为________．
【答案】： －eq \f(1,3)
【解析】：因为tanβ＝2tanα，所以eq \f(sinβ,csβ)＝eq \f(2sinα,csα)，即csαsinβ＝2sinαcsβ.又因为csαsinβ＝eq \f(2,3)，所以sinαcsβ＝eq \f(1,3)，从而sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ＝eq \f(1,3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(1,3).
11．若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是 ▲ ．
【答案】： （或）
12、在同一直角坐标系中，函数y＝sin(x＋eq \F(π,3)) （x∈[0，2π]）的图象和直线y＝eq \F(1,2) 的交点的个数是 ．
【答案】．2
解法1 令，可得
即，又x∈[0，2π]，所以或，故原函数图象与的交点个数为2.
解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2
13、 已知θ是第三象限角，且sinθ－2csθ＝－eq \f(2,5)，则sinθ＋csθ＝________.
【答案】： －eq \f(31,25)
思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sinθ＝eq \f(4,5)，csθ＝eq \f(3,5)满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ－2csθ＝－\f(2,5)，,sin2θ＋cs2θ＝1，))得5cs2θ－eq \f(8,5)csθ－eq \f(21,25)＝0，解得csθ＝eq \f(3,5)或－eq \f(7,25).因为θ是第三象限角，所以csθ＝－eq \f(7,25)，从而sinθ＝－eq \f(24,25)，所以sinθ＋csθ＝－eq \f(31,25).
解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解．
本质上，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ－2csθ＝－\f(2,5)，,sin2θ＋cs2θ＝1))可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由Asinθ＋Bcsθ＝C求sinθ，csθ可能有两组解．
14、 已知sin(x＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,3)，则sin(x－eq \f(5π,6))＋sin2(eq \f(π,3)－x)的值为________．
【答案】： eq \f(5,9)
【解析】：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)－π))＝－sin(x＋eq \f(π,6))＝－eq \f(1,3)，sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝1－sin2(x＋eq \f(π,6))＝1－eq \f(1,9)＝eq \f(8,9)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝－eq \f(1,3)＋eq \f(8,9)＝eq \f(5,9).
解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分．
【问题探究，变式训练】
例1、 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋eq \r(3)cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋m＋\f(π,3)))，由于函数y＝2sinx的图像至少向左平移eq \f(π,2)个单位长度后可得到关于y轴对称的图像，所以m＋eq \f(π,3)的最小值是eq \f(π,2)，故m的最小值是eq \f(π,6).
【关联6】、将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（eq \f(π,6)，eq \f(\r(3),2))，则φ的最小值为________.
【答案】： eq \f(π,6)
【解析】：将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y＝sin(2x＋2φ)的图像，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))代入得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2φ))＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(π,3)＋2φ＝2kπ＋eq \f(π,3)或eq \f(π,3)＋2φ＝2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，即φ＝kπ或φ＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，又因为φ>0，所以φ的最小值为eq \f(π,6).
易错警示 错以为函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y＝sin(2x＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．
例2、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－eq \f(π,2)