高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案，共13页。学案主要包含了空间向量的坐标运算，向量的坐标表示的应用等内容，欢迎下载使用。

1．3.2　空间向量运算的坐标表示
学习目标　1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．

知识点一　空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

思考　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
答案　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
知识点三　空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝||＝.
思考　已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
答案　OA＝||＝.

1．空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　×　)
2．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b则＝＝.(　×　)
3．设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．(　√　)
4．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝. (　√　)

一、空间向量的坐标运算
例1　(1)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使＝(－)．
解　＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∴－＝(6,3，－4)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.
(2)已知a＝(λ＋1,1,2λ)．若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
解　∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1.
因此，a＝(0,1，－2)．
反思感悟　空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
跟踪训练1　已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝______，a·b＝________.
答案　(1，，)　 (1,0，)　4
解析　a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，
∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴a·b＝1＋0＋3＝4.

二、向量的坐标表示的应用
命题角度1　空间平行垂直问题
例2　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明　(1)如图，建立空间直角坐标系，

设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)．
∴＝.
又点A，M的坐标分别是，，
∴＝.
∴＝.
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0,0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥.
同理，⊥.
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
命题角度2　夹角、距离问题
例3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．

(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)，
∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又异面直线所成角为锐角或直角，
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
反思感悟　利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．
跟踪训练2　如图，长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．

(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求FH的长．
(3)求EF与C1G所成角的余弦值；
(1)证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.

＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)解　∵F，H，
∴＝，
∴||＝＝.
∴FH的长为.
(3)解　∵＝－(0,1,1)＝.
∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.

利用空间向量解决探索性问题
典例　正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
解　如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，
因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，
因为＝(m，n，0)－＝，
＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)，又∥，
所以＝＝，解得m＝1，n＝.
所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点．
即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.
[素养提升]　(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题．
(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．

1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
答案　B
解析　＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　C
解析　λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3.
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
4．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________．
答案　－7或13
解析　||＝＝，
所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.
所以m＝－7或13.
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
答案　
解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.


1．知识清单：
(1)向量的坐标的运算．
(2)向量的坐标表示的应用．
2．方法归纳：类比、转化．
3．常见误区：
(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况．


1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
答案　A
解析　b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设点C的坐标为(x，y，z)，
则＝(x，y，z)，又＝(－3，－2，－4)，＝，
所以x＝－，y＝－，z＝－，
所以C.
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是(　　)
A．－6 B．－ C. D．14
答案　C
解析　由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝(2－k，2)，
又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.
4．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　C
解析　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，
所以〈a，c〉＝120°.
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线
||的长为(　　)
A．9 B. C．5 D．2
答案　B
解析　由已知，可得C1(0,2,3)，所以||＝＝.
6．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
答案　0
解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，
由题意得∥，则＝＝，
所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
7．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
答案　或
解析　设a＝(x，y，z)，由题意有
代入坐标可解得或
8．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若＝2，则点P的坐标是________．
答案　(－1,3,3)
解析　设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
则解得
即P(－1,3,3)．
9．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求||取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的||.
解　由空间两点间的距离公式得
||＝
＝＝，
当x＝时，||有最小值为.
此时A，B.
10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
解　(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E，从而＝(，1,0)，＝(，0，－2)．
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝.
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝，
由NE⊥平面PAC可得，
即
化简得∴
即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC.

11．一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　P关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，则光线所经过的距离为
|P′Q|＝＝.
12．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设＝λ，
则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.
所以当λ＝时，·取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.
13．若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
答案　(－∞，－2)
解析　由题意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，
因为θ为钝角，所以cos θ＝<0.
又|a|>0，|b|>0，
所以a·b<0，即2x＋4<0，
所以x<－2.
又a，b不会反向，
所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
14．三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P－ABC的体积为________．
答案　1
解析　由A，B，C，P四点的坐标，知△ABC为直角三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB＝1，AC＝2，PA＝3，
所以三棱锥P－ABC的体积V＝××1×2×3＝1.

15．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________.
答案　
解析　因为⊥，所以·＝0，
即1×3＋5×1＋(－2)×z＝0，所以z＝4.
因为BP⊥平面ABC，所以⊥，⊥，即

解得x＝，y＝－，
于是＝.
16．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
解　以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M.
又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1,2)，＝，
所以||＝2，||＝，
·＝2m－1.
如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.
又cos 〈，〉＝＝.
所以＝±，解得m＝－，
这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.