数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率学案

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定

学习目标　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．

知识点一　两条直线(不重合)平行的判定

知识点二　两条直线垂直的判定

思考　两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？

答案　不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．

1．若l1∥l2，则k1＝k2.(　×　)

2．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　×　)

3．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　√　)

一、两条直线平行的判定

例1　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明．

解　四边形ABCD是平行四边形，证明如下：

AB边所在直线的斜率kAB＝－，CD边所在直线的斜率kCD＝－，

BC边所在直线的斜率kBC＝，DA边所在直线的斜率kDA＝.

因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.

因此四边形ABCD是平行四边形．

反思感悟　判断两条不重合的直线是否平行的方法

跟踪训练1　(1)已知l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)，判断直线l1与l2是否平行．

解　∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，

∴l1∥l2.

(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．

解　由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.

二、两条直线垂直的判定

例2　已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．

解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，

即·＝－1，解得m＝－7；

若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，

即·＝－1，解得m＝3；

若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，

即·＝－1，解得m＝±2.

综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.

反思感悟　判断两条直线是否垂直

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．

跟踪训练2　判断下列各题中l1与l2是否垂直．

(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；

(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．

解　(1)k1＝－10，k2＝＝，

k1k2＝－1，∴l1⊥l2.

(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；

k2＝＝0，则l2∥x轴，

∴l1⊥l2.

垂直与平行的综合应用

典例　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．

解　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，

由斜率公式可得kAB＝＝，

kCD＝＝，kAD＝＝－3，

kBC＝＝－.

所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，

所以AB∥CD.由kAD≠kBC，

所以AD与BC不平行．

又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，

所以AB⊥AD，

故四边形ABCD为直角梯形．

[素养提升]　用代数运算解决几何图形问题

(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．

(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．

1．若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　)

A.  B．－  C．2  D．－2

答案　B

解析　由kPQ＝kMN，即＝，得m＝－.

经检验知，m＝－符合题意．

2．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为(　　)

A.   B．－

C．a   D．－或不存在

答案　D

解析　当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－，

当a＝0时，l2的斜率不存在．

3．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)

A．平行   B．垂直

C．可能重合   D．无法确定

答案　B

解析　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．

故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．

设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.

4．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是(　　)

A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2

B．若k1＝k2，则l1∥l2

C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2

D．若α1＝α2，则l1∥l2

答案　ABCD

5．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．

答案　－1

解析　若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意．故PQ斜率存在．由kPQ＝＝1，

得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.

1．知识清单：

两直线平行或垂直的条件．

2．方法归纳：分类讨论，数形结合．

3．常见误区：

研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．

1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)

A．相交  B．平行  C．重合  D．以上都不对

答案　B

解析　斜率都为0且不重合，所以平行．

2．已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　)

A．－8  B．0  C．2  D．10

答案　A

解析　由题意可知，kAB＝＝－2，所以m＝－8.

3．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)

A．(3,0)   B．(－3,0)

C．(0，－3)   D．(0,3)

答案　D

解析　设P(0，y)，因为l1∥l2，所以＝2，所以y＝3.即P(0,3)．

4．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　A

解析　易知a＝0不符合题意．

当a≠0时，直线l的斜率k＝＝－，

由－·＝－1，得a＝－，故选A.

5．(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是(　　)

A．PQ∥SR   B．PQ⊥PS

C．PS∥QS   D．PR⊥QS

答案　ABD

解析　由斜率公式知，

kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，

∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，

∴PS与QS不平行，故ABD正确．

6．若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．

答案　

解析　由题意可知kl＝，又因为kl＝，

所以＝，解得m＝.

7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.

答案　－2　2

解析　由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，

若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.

若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，

∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.

8．已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________．

答案　(0，－11)

解析　设P(0，y)，由∠BAP＝90°知，

kAB·kAP＝×＝＝－1，

解得y＝－11.

所以点P的坐标是(0，－11)．

9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；

(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．

解　(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，

解得m＝－或m＝1.

(2)由kAB＝，且＝3，

则＝－，解得m＝或m＝－3.

(3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1.

经检验，当m＝或m＝－1时，均符合题意．

10．已知▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．

(1)求点D的坐标；

(2)试判定▱ABCD是否为菱形？

解　(1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，

所以　　解得

所以D(－1,6)．

(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，

所以kAC·kBD＝－1，

所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．

11．(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．2

答案　BC

解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.

当m≠0时，kAB＝，kCD＝，

则kAB＝kCD，即＝，得m＝1，∴m＝0或1.

12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)

A．(－3,1)   B．(4,1)

C．(－2,1)   D．(2，－1)

答案　A

解析　如图所示，

因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.

根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.

13．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　　)

A．135°  B．45°  C．30°  D．60°

答案　B

解析　若a＝b－1，则P，Q重合，不合题意，故直线PQ斜率存在．kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，

∴l的斜率为1，倾斜角为45°.

14．下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有________．(填序号)

①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；

③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；

④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6)．

答案　①③④

解析　①∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，

∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.

②∵＝＝1≠＝2，∴l1不平行于l2.

③∵＝tan 60°＝，＝＝，

∴，∴l1∥l2.

④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2.

15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.

答案　4＋

解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，

∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.

由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.

∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－.

∴＝＝－，

解得m＝4＋.

16．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．

解　由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5.

由kBC＝0知直线BC∥x轴，

∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．

设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，

由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，

即k1·＝－1，k2·5＝－1，

解得k1＝－，k2＝－.

∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；

AB边上的高所在直线的斜率为－；

AC边上的高所在直线的斜率为－.