高中数学2.2 直线的方程学案

2．2.2　直线的两点式方程

学习目标　1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．

知识点　直线的两点式方程和截距式方程

思考1　过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？

答案　没有．其方程为y＝y0.

思考2　方程－＝1是直线的截距式方程吗？

答案　不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.

1．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　×　)

2．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　√　)

3．直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　√　)

4．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)

一、直线的两点式方程

例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

(1)求BC边所在的直线方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，

故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.

(2)设BC的中点为M(a，b)，

则a＝＝，b＝＝－3，

所以M，

又BC边的中线过点A(－3,2)，

所以＝，即10x＋11y＋8＝0，

所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.

延伸探究

若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．

解　kBC＝＝－，

则BC边的垂直平分线的斜率为，

又BC的中点坐标为，

由点斜式方程可得y＋3＝，

即10x－4y－37＝0.

反思感悟　利用两点式求直线的方程

(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．

(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．

跟踪训练1　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为________．

答案　4x＋5y＋3＝0

解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，

所以＝，所以＝，

化简得4x＋5y＋3＝0.

(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程．

解　由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．

(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；

(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，

即x－(m－1)y－1＝0.

综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；

当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.

二、直线的截距式方程

例2　求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．

解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0.

(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，

又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，

∴l的方程为x－y－3＝0.

综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.

延伸探究　(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？

解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意．

(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，

又l过点(5,2)，∴＋＝1，解得a＝.

∴l的方程为x＋2y－9＝0.

综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.

反思感悟　截距式方程应用的注意事项

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．

(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．

(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．

跟踪训练2　(多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)

A．y＝x   B．x＋y＝5

C．y＝－x   D．x＋y＋5＝0

答案　AB

解析　设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.

当a＝b≠0时，直线方程为＋＝1，

∴＋＝1，∴a＝5，∴x＋y＝5，

当a＝b＝0时，k＝，∴y＝x，

综上所述，y＝x和x＋y＝5.

直线方程的灵活应用

典例　已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.

(1)求直线BC的方程；

(2)求直线AB的方程．

解　如图．

(1)因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x，

所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称．

A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，

A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上．

由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5.

(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，

所以直线AB与BC的斜率互为相反数，

由(1)知直线BC的斜率为2，

所以直线AB的斜率为－2，

又因为点A的坐标为(3，－1)，

所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，

即2x＋y－5＝0.

[素养提升]　(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称．

(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养．

(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养．

1．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.－＝1   D.＋＝1

答案　A

2．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(　　)

A．x＝2  B．y＝2  C．x＝3  D．x＝6

答案　B

解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.

3．过坐标平面内两点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝0

C.＋＝1   D.－＝1

答案　C

4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．

答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0

解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；

当在坐标轴上的截距不为零时，

可设直线方程为－＝1，

将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，

得直线方程为x－y＋1＝0.

∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.

5．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．

答案　2x－y＋1＝0

解析　AB的中点坐标为(1,3)，

由直线的两点式方程可得＝，

即2x－y＋1＝0.

1．知识清单：

(1)直线的两点式方程．

(2)直线的截距式方程．

2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．

3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．

1．(多选)下列说法中不正确的是(　　)

A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示

B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示

C．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式

D．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式

答案　ABC

2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　)

A．x＋y＋1＝0   B．x＋y－1＝0

C．x－y＋1＝0   D．x－y－1＝0

答案　D

解析　由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.

3．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)

A．|b|   B．－b2

C．b2   D．±b

答案　B

解析　令x＝0，得y＝－b2.

4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(　　)

A．－  B．－  C.  D．2

答案　A

解析　由两点式＝，得y＝2x＋3，

令y＝0，得x＝－，即为在x轴上的截距．

5．若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 010，b)在直线l上，则b的值为(　　)

A．2 021   B．2 020

C．2 019   D．2 018

答案　A

解析　由直线的两点式方程得直线l的方程为

＝，即y＝2x＋1，

令x＝1 010，则有b＝2×1 010＋1，即b＝2 021.

6．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．

答案　3x＋y－6＝0

解析　由题意知直线过点(2,0)，

又直线过点(1,3)，由两点式可得，＝，

整理得3x＋y－6＝0.

7．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________________．

答案　＋＝1

解析　设A(m，0)，B(0，n)，

由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，

即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，

则l的截距式方程是＋＝1.

8．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.

答案　－2

解析　由直线方程的两点式，得＝，

即＝.

∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，

∵点P(3，m)在直线AB上，

∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.

9．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．

解　设直线方程的截距式为＋＝1.

则＋＝1，

解得a＝2或a＝1，

则直线方程是＋＝1或＋＝1，

即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.

10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的截距式方程．

解　(1)设C(x0，y0)，

则AC边的中点为M，

BC边的中点为N，

因为M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5.

又因为N在x轴上，所以＝0，解得y0＝－3.

即C(－5，－3)．

(2)由(1)可得M，N(1,0)，

所以直线MN的截距式方程为＋＝1.

11．直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　)

A．a>0，b>0   B．a>0，b<0

C．a<0，b>0   D．a<0，b<0

答案　B

12．若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则(　　)

A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限

B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限

C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限

D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限

答案　B

解析　依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.

13．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)

答案　A

解析　两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合．

14．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为(　　)

A.＋＝1   B.－＝1

C.＋＝1   D.－＝1

答案　B

解析　A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为＋＝1，将点(4,0)代入方程得a＝4，则该直线的方程为－＝1.

15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．

答案　3

解析　直线AB的方程为＋＝1，

设P(x，y)，则x＝3－y，

∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)

＝[－(y－2)2＋4]≤3.

即当P点坐标为时，xy取得最大值3.

16．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．

解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，

∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，

则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.

∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，

∴直线方程为x＋y±6＝0.

若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，

则在y轴上的截距为－a(a≠0)，

故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.

∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，

∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.

综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.