高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

2．3.2　两点间的距离公式

学习目标　1.掌握两点间距离公式并会应用.2. 用坐标法证明简单的平面几何问题．

知识点　两点间的距离

公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.

特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．

(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.

1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(　×　)

2．当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　×　)

3．点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.(　×　)

一、两点间的距离

例1　如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．

解　方法一　∵|AB|＝＝＝2，

|AC|＝＝＝2，

又|BC|＝＝＝2，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，

∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.

又|AC|＝＝＝2，

|AB|＝＝＝2，

∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．

延伸探究　题中条件不变，求BC边上的中线AM的长．

解　设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为.

反思感悟　计算两点间距离的方法

(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．

跟踪训练1　已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．

解　设P(x，0)，|PA|＝，

|PB|＝，

∵|PA|＝|PB|，∴＝，

解得x＝1，∴P(1,0)，

∴|PA|＝＝2.

二、运用坐标法解决平面几何问题

例2　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

证明　设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．

因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，

|AC|2＝(a－b)2＋c2，

|AD|2＝b2＋c2，

|DC|2＝a2，

所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

反思感悟　利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

(2)用坐标表示有关的量；

(3)将几何关系转化为坐标运算；

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．

跟踪训练2　已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.

求证：|AC|＝|BD|.

证明　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，

则点D的坐标是(a－b，c)．

∴|AC|＝＝，

|BD|＝＝.

故|AC|＝|BD|.

1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　)

A．5  B.  C.  D．4

答案　A

解析　|MN|＝＝5.

2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于(　　)

A．4  B．4  C．2  D．2

答案　B

解析　∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝＝4.

3．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)

A．3x－y－8＝0   B．3x＋y＋4＝0

C．3x－y＋6＝0   D．3x＋y＋2＝0

答案　B

解析　设P(x，y)，

则＝，

即3x＋y＋4＝0.

4．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是(　　)

A．(－4,5)   B．(－3,4)

C．(－1,2)   D．(0,1)

答案　BC

解析　设所求点的坐标为(x0，y0)，有

x0＋y0－1＝0，且＝，

两式联立解得或

5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________．

答案　

解析　BC的中点坐标为(0,1)，

则BC边上的中线长为＝.

1．知识清单：两点间的距离公式．

2．方法归纳：待定系数法、坐标法．

3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．

1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于(　　)

A.  B.  C．3  D．2

答案　D

解析　|AC|＝4，|CB|＝2，故＝2.

2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　　)

A．2   B．3＋2

C．6＋3   D．6＋

答案　C

解析　由两点间距离公式得

|AB|＝＝3，

|BC|＝＝3，

|CA|＝＝3.

故△ABC的周长为6＋3.

3．已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形   B．等边三角形

C．等腰三角形   D．等腰直角三角形

答案　C

解析　由两点间的距离公式，

可得|AB|＝，|BC|＝|CA|＝，

且|BC|2＋|CA|2≠|AB|2，

∴△ABC为等腰三角形．

4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　)

A．2  B．3  C.  D.

答案　C

解析　由中点坐标公式可得，BC边的中点D.

由两点间的距离公式得|AD|＝＝.

故选C.

5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，

由两点间的距离公式，得|AB|＝.

6．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．

答案　1或－5

解析　由两点间距离公式得

(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，

所以(a＋2)2＝32，

所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.

7．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．

答案　(10,0)或(0,0)

解析　设Q(x0,0)，则有

13＝，得x0＝0或x0＝10.

8．直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________．

答案　5

解析　令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝5.

∴S＝×|－2|×|5|＝5.

9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．

解　由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，

令x＝0，有y＝，则B，

故AB的中点为，

∵线段AB的中点到原点的距离为，

∴＝，解得a＝±2.

10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．

解　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，

解方程组得

即B.

由|AB|＝＝5，

解得k＝－，

∴直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，

即3x＋4y＋1＝0.

当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.

此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意，

综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.

11．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(　　)

A．等腰三角形   B．等边三角形

C．直角三角形   D．以上都不是

答案　C

解析　|AB|＝＝＝＝2，

|BC|＝＝＝＝4，

|AC|＝＝＝2，

∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，

∴△ABC为直角三角形．故选C.

12．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　)

A．0  B．2  C．4  D.

答案　B

解析　S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.

13．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.

答案　2

解析　设A(a，0)，B(0，b)，

由中点坐标公式，得解得

∴|AB|＝＝2.

14．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________.

答案　10

解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，

设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，

所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，

于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，

即＝10.

15．光线从B(－3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10)，则光线从B到A经过的路程为________．

答案　5

解析　B(－3,5)关于x轴的对称点为B′(－3，－5)，AB′交x轴于P点，

所以|PA|＋|PB|＝|AB′|＝＝5，

即光线从B到A经过的路程为5.

16．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.

证明　如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，

设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，

则A(－a，0)，C(c，0)，D，E，

则|AE|＝＝，

|CD|＝＝，

所以|AE|＝|CD|.