数学选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时学案设计，共13页。学案主要包含了由双曲线方程研究其几何性质，由双曲线的几何性质求标准方程，求双曲线的离心率等内容，欢迎下载使用。

3．2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　 双曲线的简单几何性质
学习目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.

知识点一　双曲线的性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

思考　 双曲线的离心率有什么作用？
答案　双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
知识点二　等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.

1．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(　√　)
2．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　×　)
3．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　×　)
4．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)

一、由双曲线方程研究其几何性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
延伸探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
二、由双曲线的几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝.
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.①
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.③
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等．
解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知2b＝8，e＝＝，
从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，
可设其方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
可设其方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
三、求双曲线的离心率
例3　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝.
反思感悟　求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.

1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
答案　ABD
解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．4 B．－4
C．－ D.
答案　C
解析　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，
则双曲线方程可化为y2－＝1，
则a2＝1，a＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－＝b2＝4，
∴m＝－，故选C.
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
答案　A
解析　令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　∵＝，
∴＝＝，
∴＝，∴＝，
∴＝.
又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
答案　2
解析　由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，
所以e＝＝2.

1．知识清单：
(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．
3．常见误区：
求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．


1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
答案　C
解析　双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
4．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A. B. C．1 D.
答案　B
解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，
故顶点到渐近线的距离为.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，
解得＝.
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选C.
6．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是________．

答案　6
解析　设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案　2
解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．

∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2.
又∠AOB＝，
∴＝tan ＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
答案　y2－3x2＝36
解析　椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解　(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ>0时，＝9，λ＝36，
双曲线方程为－＝1；
当λ<0时，＝9，λ＝－81，
双曲线方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
10．设双曲线－＝1(0 解　直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.

11．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
12．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
答案　D
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
13．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　D
解析　不妨取点M在第一象限，如图所示，

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a，a)．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
14．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，

所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2.

15．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
答案　B
解析　因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，
所以双曲线方程为－y2＝1.
设点P(x0，y0)(x0≥)，则－y＝1(x0≥)，可得y＝－1(x0≥)，
易知＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，
此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－.
因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，
故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
16．已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
解　(1)m＝4时，双曲线方程化为－＝1，所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，所以<1＋<2，解得5 所以实数m的取值范围是(5,10)．