高中数学3.3 抛物线第2课时导学案及答案

这是一份高中数学3.3 抛物线第2课时导学案及答案，共13页。学案主要包含了和抛物线有关的轨迹问题，抛物线的综合问题等内容，欢迎下载使用。

第2课时　 抛物线的方程及性质的应用
学习目标　1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.2.解决一些抛物线的综合问题．

知识点一　和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点二　直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＝x1＋x2＋p；
③＋＝.

1．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
答案　D
解析　方法一　设动点P的坐标为(x，y)．
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线．
方法二　显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
2．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝12x D．y2＝－12x
答案　A
解析　设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
答案　C
解析　由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
4．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有(　　)
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|
B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|>|AB|
D．|PP1|<|AB|
答案　B
解析　如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，

故|PP1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

一、和抛物线有关的轨迹问题
例1　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
解　(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟　求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程．
跟踪训练1　若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
二、抛物线的综合问题
例2　如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.

(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
(1)解　依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明　设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
＝×＝×＝，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
＝＝＝，
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．
反思感悟　解决抛物线综合问题的基本策略
对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．
跟踪训练2　(1) 已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
答案　
解析　设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝＝＝＝.
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
(2)已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F的距离小1.
①求动点P的轨迹C的方程；
②设斜率为－1且不过点M的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
①解　依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F，准线为x＝－1，
设其方程为y2＝2px，则＝1，解得p＝2，
所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x.
②证明　设直线AB：y＝－x＋b，A，B，
由得y＝－＋b，即y2＋4y－4b＝0，
Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，因为x1＝，x2＝，
所以k1＋k2＝＋＝＋
＝＋＝＝0.
因此k1＋k2＝0.

与抛物线有关的最值问题
典例　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
解　方法一　设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝＝2＋.
所以当t＝时，d取得最小值.
方法二　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，

由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距离为＝＝.
[素养提升]　求距离的最值，常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；
二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力．

1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案　D
解析　依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝12y
答案　A
解析　设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　D
解析　由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，
设A，B，a>0.
S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
答案　(4,2)
解析　由得x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．
5．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．
答案　 y2＝4x
解析　由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，
由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.

1．知识清单：
(1)和抛物线有关的轨迹问题．
(2) 抛物线的综合问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．


1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案　A
解析　设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
答案　B
解析　抛物线的焦点为F，
所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，
得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，
由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．0
答案　B
解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z最小，最小值为3.
4．(多选)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于(　　)
A．2 B．－2 C．－4 D．4
答案　CD
解析　∵抛物线C：y＝，∴x2＝8y，
∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.
∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，
由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，
∴y0＝2，∴x＝16，
∴x0＝±4.
5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，·＝16，则p的值为(　　)
A．2 B．4 C．2 D．8
答案　C
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)
∴直线AB的方程为y＝x－，
代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，＝x1＋，＝x2＋，
∴·＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝＋p2＋
＝2p2＝16，
解得p＝2.
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
答案　2
解析　双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，
所以－＝－，故p＝2.
7．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＋y2＝4，
∵A，B在抛物线上，
∴相减得
y－y＝2(x1－x2)，
即＝＝＝.
8．已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.
答案　3
解析　设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
与抛物线方程联立可得消y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x＝0，
由根与系数的关系可得，x1x2＝x，则y1y2＝－＝－2x0，
∵·＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即x－2x0＝3，
解得x0＝3.
9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．
解　方法一　设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
方法二　由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.
10．已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．
证明　设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为－，则直线OA的方程为y＝kx，
由得A，
同理可得B(－8k2,8k)，
于是直线AB的方程为y－8k＝(x＋8k2)，整理可得y＝(x＋8)，
因此直线AB经过定点(－8,0)．

11．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意可知，直线AB的方程为
y＝，
代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝3，y1y2＝－，
故所求三角形的面积为××＝.
12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)
A. B．2 C．2 D．3
答案　C
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．

联立方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
13．已知点A，B在抛物线y2＝4x上且位于x轴的两侧，·＝5(其中O为坐标原点)，则直线AB在x轴上的截距是(　　)
A．5 B. C. D．4
答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，
·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝5，因为y1y2<0，所以y1y2＝－20.
设直线AB在x轴上的截距为m，
若AB斜率不存在，则y1＝－y2，所以y1＝2，从而x1＝5，m＝5，
若AB斜率存在，设直线AB方程为y＝k(x－m)，
由
得ky2－4y－4km＝0，
y1y2＝－4m＝－20，m＝5.
综上，直线AB在x轴上的截距是5.
14．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为________．
答案　8
解析　过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，
联立得x2－6x＋1＝0，
Δ＝36－4＝32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，
|FA|·|FB|＝·
＝·
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝8.

15．已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝，则直线l恒过定点(　　)
A．(－6，0) B．(－3，0)
C．(－2，0) D．(－，0)
答案　C
解析　设直线l为x＝my＋n，联立消去x可得y2－6my－6n＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n，
因为k1·k2＝，即·＝，所以＝＝＝，
所以n＝－2，
所以x＝my－2，
所以直线l一定过点
16．已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．
(1)解　由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.
(2)证明　由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.
直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，
由
得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，
已知此方程一个根为1，
∴x1×1＝＝，
即x1＝，
同理x2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝＝，
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]
＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝，
∴kAB＝＝＝－1，
所以，直线AB的斜率为定值－1.