数学人教A版 (2019)3.1 椭圆第1课时学案

这是一份数学人教A版 (2019)3.1 椭圆第1课时学案，共14页。学案主要包含了椭圆的简单几何性质，由椭圆的几何性质求标准方程，求椭圆的离心率等内容，欢迎下载使用。

3．1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．

知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±，0)
(0，±)
焦距
|F1F2|＝2
对称性
对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率
e＝∈(0,1)

思考　离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
答案　e＝，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．

1．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　×　)
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.
(　×　)
3．离心率相同的椭圆是同一个椭圆．(　×　)
4．设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　√　)

一、椭圆的简单几何性质
例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解　椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m＞4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12.
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(2) 过点(3,0)，离心率e＝.
解　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝，所以＝，
把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆标准方程．
跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．
答案　＋＝1
解析　由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
三、求椭圆的离心率
例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案　
解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，
故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，
所以|PF2|＝.
又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，
故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，
解得e＝或e＝－(舍去)．
延伸探究
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
解　在△PF1F2中，

∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
则在△PF1F2中，有＝＝，
∴＝，
∴e＝＝＝＝.
2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解　由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，
∴e>，又0 故C的离心率的取值范围为.
反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3　(1)已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac.
∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，
∴e＝－(舍)或e＝.
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
答案　
解析　由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，
所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c，
因为e＝，0
1．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c＝3，＝，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆方程为＋＝1.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案　C
解析　依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．

依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，
即椭圆的离心率e＝，故选A.
4．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
答案　
解析　∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝.
5．已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是____________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　∵＝＝＝，∴a＝2b，
若椭圆的焦点在x轴上，则b＝，a＝2；
若椭圆的焦点在y轴上，则a＝，b＝.
∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

1．知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的几何性质求标准方程．
(3)求椭圆的离心率．
2．方法归纳：直接法、方程法(不等式法)．
3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．


1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
答案　D
解析　∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由＋＝1可知，
所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；
再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，
所以C的离心率e＝＝.
6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　依题意，得b＝3，a－c＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为e＝＝.
7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0 答案　(2,4]
解析　∵e＝，b＝1,0 ∴≤，
则1 即长轴长的取值范围是(2,4]．
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_______________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，知＝，故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
∴a＝4，∴b2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点M，求椭圆C的离心率．
解　2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝2.
所以a＝.
又由已知c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
10．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
解　(1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.

11．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
答案　C
解析　由题意得点F(－1,0)．设点P(x0，y0)，则有＋＝1，可得y＝3.
∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
∴·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.
此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.
又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.
12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C.－ D.－1
答案　D
解析　设椭圆的焦点是F1，F2，圆与椭圆的四个交点是A，B，C，D，
设|F1F2|＝2c，|AF1|＝c，|AF2|＝c(c>0),
|AF1|＋|AF2|＝2a⇒c＋c＝2a，
e＝＝＝－1.
13．经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
14．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
答案　
解析　如图，切线PA，PB互相垂直，

又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，＝a.
解得＝，
则离心率e＝.

15．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．

∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈，
故选A.
16．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.