2020-2021学年第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

§1.3　空间向量及其运算的坐标表示

1．3.1　空间直角坐标系

学习目标　1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．

知识点一　空间直角坐标系

1．空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

2．右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

思考　空间直角坐标系有什么作用？

答案　可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化．

知识点二　空间一点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量  对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

思考　空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？

答案　x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0)．

y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．

z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．

知识点三　空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．

思考　空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？

答案　点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量  的坐标也为(x，y，z)．

1．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　×　)

2．空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．(　√　)

3．关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(　√　)

一、求空间点的坐标

例1　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则

①顶点A，C的坐标分别为________________；

②棱C1C中点的坐标为________；

③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________．

答案　①(0,0,0)，(1,1,0)　②　③

(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．

解　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，

∴正四棱锥的高为2.

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2)．

答案不唯一．

反思感悟　(1)建立空间直角坐标系的原则

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面．

②充分利用几何图形的对称性．

(2)求某点M的坐标的方法

作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．

跟踪训练1　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．

解　建立如图所示的空间直角坐标系．

点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，

而E为DD1的中点，

故其坐标为.

由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，

由平面几何知识知FM＝，FN＝，

故F点坐标为.

因为CG＝CD，G，C均在y轴上，

故G点坐标为.

由H作HK⊥CG，可得DK＝，HK＝，

故H点坐标为.

(答案不唯一)

二、空间点的对称问题

例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．

(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；

(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；

(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．

解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．

(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，

由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，

y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，

所以P3的坐标为(6，－3，－12)．

反思感悟　空间点对称问题的解题策略

(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．

(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

跟踪训练2　已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．

答案　(2，－3,1)

解析　点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．

三、空间向量的坐标

例3　已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标．

解　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，

＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，

＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，

∴＝＋

＝＋＋

＝－4i＋4j＋4k

＝(－4,4,4)．

反思感悟　向量坐标的求法

(1)点A的坐标和向量  的坐标形式完全相同；

(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．

跟踪训练3　已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，设点A，B在yOz平面上的射影分别为A1，B1 ，则向量的坐标为__________．

答案　(0，－1,10)

解析　点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为 A1 (0,5，－7), B1 (0,4,3)，

∴向量的坐标为(0，－1,10)．

1．点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)

A．y轴上   B．xOy面上

C．xOz面上   D．yOz面上

答案　C

2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　)

A．(－1,3，－5)   B．(1,3,5)

C．(1，－3,5)   D．(－1，－3,5)

答案　B

3．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是(　　)

A．1  B．2  C．3  D.

答案　A

4．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．

答案　(1,1，－1)　(－1，－1,1)

解析　点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．

5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量的坐标为________．

答案　 (－4,2,3)

解析　＝＋＝＋＋＝－4i＋2j＋3k＝(－4,2,3)．

1．知识清单：

(1)空间直角坐标系的概念．

(2)点的坐标．

(3)向量的坐标．

2．方法归纳：

数形结合、类比联想．

3．常见误区：

混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．

1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　)

A．(1,0,0)

B．(1,0,1)

C．(1,1,1)

D．(1,1,0)

答案　C

解析　点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.

2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是(　　)

A．在x轴上   B．在xOy平面内

C．在yOz平面内   D．在xOz平面内

答案　C

解析　∵点A的横坐标为0，

∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．

3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　)

A．关于x轴对称   B．关于yOz平面对称

C．关于坐标原点对称   D．以上都不对

答案　C

解析　当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．

4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　)

A．(0，，0)   B．(0，，)

C．(1,0，)   D．(1，，0)

答案　B

解析　由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.

5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　＝＋＝k－j＝.

6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.

答案　0

解析　点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，

∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.

7．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．

答案　(4,0，－1)

解析　设中点坐标为(x0，y0，z0)，

则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，

∴中点坐标为(4,0，－1)．

8．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为________．

答案　(5,4,1)

解析　设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为(5,4,1)．

9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．

解　正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F，G，H，I，J.

10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．

解　由题意知，点B的坐标为(1,1,0)．

由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)，

由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)，

由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0)．

又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，

所以由中点坐标公式可得E，F.

11．已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则向量点B的坐标为________．

答案　(1，－3，－5)

12．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．

答案　(2,0,3)

解析　由题意，知点M1的坐标为(－2,0, －3)，

所以点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．

13．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________．

答案　(－1，－2，－1)

解析　因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，

所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．

14.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．

答案　

解析　由题意知A(a，0,0)，B(0，b，0)，C(0,0，c)．

由重心坐标公式得点G的坐标为.

15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．

答案　(1,1,1)　

解析　由题意知p＝2a＋b－c，

则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．

设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则

p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，

又∵p＝2a＋b－c，

∴

解得x＝，y＝，z＝－1，

∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.

16．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．

解　过点D作DE⊥BC，垂足为E.

在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得||＝1，||＝，

∴||＝||sin 30°＝，||＝||－||＝||－||cos 60°＝1－＝，

∴点D的坐标为.