2021学年5.1 任意角和弧度制导学案

这是一份2021学年5.1 任意角和弧度制导学案，共10页。学案主要包含了基本概念的辨析，角度与弧度的转换，终边相同，象限的判断，扇形等内容，欢迎下载使用。

常见考法
考点一 基本概念的辨析
【例1】（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）下列说法正确的个数是（ ）
①小于 SKIPIF 1 < 0 的角是锐角；
②钝角一定大于第一象限角；
③第二象限的角一定大于第一象限的角；
④始边与终边重合的角为 SKIPIF 1 < 0 .
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】对①，小于 SKIPIF 1 < 0 的角不是锐角，如 SKIPIF 1 < 0 不是锐角，故①错；
对②， SKIPIF 1 < 0 角是第一象限的角，大于任何钝角 SKIPIF 1 < 0 ，故②错；
对③，第二象限角中的 SKIPIF 1 < 0 角小于第一象限角中的 SKIPIF 1 < 0 角，故③错；
对④，始边与终边重合的角的度数是 SKIPIF 1 < 0 ，故④错．故选：A．
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角
C．第四象限角一定是负角D．小于 SKIPIF 1 < 0 的角都是锐角
【答案】B
【解析】终边相同的角不一定相等，所以该选项错误；
钝角一定是第二象限角，所以该选项正确；
第四象限角不一定是负角，如 SKIPIF 1 < 0 是第四象限的角，但是不是负角，所以该选项错误；
小于 SKIPIF 1 < 0 的角不都是锐角，如 SKIPIF 1 < 0 .所以该选项错误.故选B
2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．终边与始边重合的角是零角B．90°～180°间的角不一定是钝角
C．终边和始边都相同的两个角相等D．第二象限的角大于第一象限的角
【答案】B
【解析】终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故A错误；
90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确；
终边和始边都相同的两个角相差 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误．故选：B
3．（2020·陕西大荔·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角B．不相等的角终边可以相同
C．若 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角， SKIPIF 1 < 0 一定是第四象限角D．终边在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的角是零角
【答案】B
【解析】A选项，第一象限角 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，∴该选项错误；
B选项， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；
C选项，若 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是第三象限角或第四象限角或终边在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；D选项， SKIPIF 1 < 0 角的终边在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.故选： SKIPIF 1 < 0 .
考点二 角度与弧度的转换
【例2】（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ； （3）1125° ；（4）-225°.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ； （3） SKIPIF 1 < 0 ； （4） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】根据弧度制与角度制的互化公式， SKIPIF 1 < 0 ，可得：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）把下列角度化成弧度：
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ； （3） SKIPIF 1 < 0 ； （4） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2020·甘肃城关·兰州一中高一期中） SKIPIF 1 < 0 ___________弧度, SKIPIF 1 < 0 弧度=________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
3．（2020·土默特左旗金山学校高一月考（理））下列转化结果错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 化成弧度是 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 化成度是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 化成弧度是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 化成度是 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 化成弧度是 SKIPIF 1 < 0 ，A正确 SKIPIF 1 < 0 化成度是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ，C错误； SKIPIF 1 < 0 化成度是 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：C.
考点三 终边相同
【例3】（2020·全国高一课时练习）（1）把－1480°写成 SKIPIF 1 < 0 的形式，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 内找出与 SKIPIF 1 < 0 角终边相同的角.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）72°，432°.
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴终边与 SKIPIF 1 < 0 角相同的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
∴在 SKIPIF 1 < 0 内与 SKIPIF 1 < 0 角终边相同的角为72°，432°.
【一隅三反】
1．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））已知角 SKIPIF 1 < 0 .
（1）将角 SKIPIF 1 < 0 改写成 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )的形式，并指出角 SKIPIF 1 < 0 是第几象限的角；
（2）在区间 SKIPIF 1 < 0 上找出与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，是第三象限角；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，∴ SKIPIF 1 < 0 是第三象限角．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，对应角依次为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2020·全国高一课时练习）把下列各角度化为弧度,并写成 SKIPIF 1 < 0 的角加上 SKIPIF 1 < 0 的形式.
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0 .
3．（2019·陕西榆阳·榆林十二中高一月考）用弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内的角的集合.
（1）
（2）
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
考点四 象限的判断
【例4】（2020·全国高一课时练习）已知下列各角：① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0 ，其中第二象限角的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】D
【解析】① SKIPIF 1 < 0 表示由 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴绕原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，落在第三象限；
② SKIPIF 1 < 0 表示由 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴绕原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，落在第二象限；
③ SKIPIF 1 < 0 表示由 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴绕原点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，落在 SKIPIF 1 < 0 轴非正半轴；
④ SKIPIF 1 < 0 表示由 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴绕原点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的终边和 SKIPIF 1 < 0 的终边相同，所以落在第二象限.故选：D
【一隅三反】
1．（2020·周口市中英文学校高一期中）角 SKIPIF 1 < 0 的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，角 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，所以角 SKIPIF 1 < 0 的终边所在的象限是第一象限．
故选A.
2．（2020·全国高二）若 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 是( )
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为第一象限角，故选A．
3．（2020·全国高一课时练习）在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
（1）－150°；（2）650°；（3）－950°15′.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，第三象限的角；（2） SKIPIF 1 < 0 ，第四象限的角；（3） SKIPIF 1 < 0 ，第二象限的角；
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第三象限的角， SKIPIF 1 < 0 是第三象限的角；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第四象限的角， SKIPIF 1 < 0 是第四象限的角；
（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第二象限的角， SKIPIF 1 < 0 是第二象限的角．
考点五 扇形
【例5】（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，所在圆的半径为R.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角 SKIPIF 1 < 0 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）设扇形弧长为l，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴扇形面积 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，S有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此当 SKIPIF 1 < 0 时，这个扇形面积最大.
1.设扇形的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，弧长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位
角度制
弧度制
扇形的弧长
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
扇形的面积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当周长C为定值时可得面积 SKIPIF 1 < 0
当面积 SKIPIF 1 < 0 为定值时可得周长 SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2020·赤峰二中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 SKIPIF 1 < 0 （弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设半径为 SKIPIF 1 < 0 ,圆心到弦的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 所以弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 弧田面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
2．（2020·辽宁沈阳·高一期中）一个半径是 SKIPIF 1 < 0 的扇形，其周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．1B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设扇形的弧长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则扇形圆心角的弧度数为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
3．（2020·上海高一课时练习）在扇形 SKIPIF 1 < 0 中，半径等于r.
（1）若弦 SKIPIF 1 < 0 的长等于半径，求扇形的弧长l；
（2）若弦 SKIPIF 1 < 0 的长等于半径的 SKIPIF 1 < 0 倍，求扇形的面积S
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）如图所示：设 SKIPIF 1 < 0 ，
若弦 SKIPIF 1 < 0 的长等于半径，则 SKIPIF 1 < 0
所以扇形的弧长 SKIPIF 1 < 0
（2）如图所示：
若弦 SKIPIF 1 < 0 的长等于半径的 SKIPIF 1 < 0 倍，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以扇形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .