华师大版八年级下册17.1 变量与函数第1课时导学案

 第17章  函数及其图象

17．1 变量与函数

第1课时 变量与函数的概念及其表示方法

学习目标：

1．掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本的概念；

2．了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．

自主学习

一、知识链接

1．人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性）．如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”：         、          、         ．同时用“数”来表明“量”的大小．

2．写出路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系：            ．

二、新知预习

阅读教材P28~30，完成下列问题：

1．小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元/支，总价y(元)随铅笔的数量x(支)的变化而变化，在这个问题中，变量是________________，常量是____________．

2．圆的面积S随着半径的变化而变化，已知它们的关系为：，在这个问题中，常量是          ，变量是                 ．

【要点归纳】

变量：在某一变化过程中，可以取           的量，叫做变量．

常量：在某一变化过程中，取值始终                 的量，叫做常量．

合作探究

一、探究过程

探究点1：常量与变量

问题1    如图是某日的气温变化图．

看图回答：

（1）这天的6时，10时和14时的气温分别为              ，自己任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温：            ；

（2）这一天中，最高气温是           ，最低气温是        ；

（3）这一天中，          时段的气温在逐渐升高，                 时段的气温在逐渐降低；
（4）在这张图中，主要体现了哪些数量的变化？

答：                   ．

（5）在这张图中，你发现任意一个时刻对应的气温有几个？

答：                          ．

结论：从图中我们可以看到，随着         的变化，相应地             也随之变化．每一个时刻t（时），都有          的气温T（℃）与之对应．

 问题2   下表是某年中国人民银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率．观察下表：

 说一说：（1）在这个问题中，变化的量是　             ；

（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取存期x的一个确定的值，都有        的年利率y值和它对应；

（3）随着存期x的增长,相应的年利率y 　　   　　．

问题3 收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：

（1）在这个问题中，变化的量是                 ；

（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取波长λ的一个确定的值，频率f有       值和它对应；

（3）波长λ越大，频率f就　    　；

（4）试着找出频率f与波长λ的数值的关系为             ，把频率f用含波长λ的代数式表示为

f =     　　．

问题4  （1）圆的面积：如果用r表示圆的半径,S表示圆面积,则S与r之间满足下列关系:S=      .  

（2）利用这个关系式,试求出半径为1cm,1.5 cm,2 cm,3 cm,4 cm时圆的面积,并将结果填入下表：（保留π）

（3）由此我们可以发现：在这个问题中变化的量有      个,它们是                    ，圆的半径越大，它的面积就          ．

（4）在上述变化过程中，任取圆半径r的一个确定的值，其面积S有           的值和它对应.

【要点归纳】在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些         规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生          的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t（时）和气温T(℃)，      随着      的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取           量，叫做变量(variable)．

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终           ，我们称之为常量，如问题3中的300 000，问题4中的π等．

探究点2：函数的有关概念

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有       的值与之对应，我们就说x是        ，y是      ，此时也称y是x的函数．例如：

问题1的自变量是       ，因变量是      ，也称       是       的函数．

问题2的自变量是       ，因变量是      ，也称       是       的函数．

问题3的自变量是       ，因变量是      ，也称       是       的函数．

问题4的自变量是       ，因变量是      ，也称       是       的函数．

例1写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量．

（1）等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式；

（2）时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)之间的关系­式；

（3）底边长为10的三角形的面积S与高h之间的关系式；

（4）某种弹簧原长为20厘米,每挂物体1千克,伸长0．2厘米,挂上物体后的长度l(厘­米)与所挂的物体的重量m(千克)之间的关系式；

（5）某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0．2升水,饮水机中剩余水量V(升)与放水时间t(分)之间的关系式．

例2指出下列关系式中，哪些y是x的函数？哪些不是？说出你的理由．

（1）xy=2；(2)y2＝x；（3）x+y=5；（4）│y│=3x+1；（5）y=x2-4x+5；（6）y=│x│．

【针对训练】下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；③y =2|x|；④y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数的是         ．（填序号）

探究点3：函数的表示方式

表示函数关系的方法通常有三种：

(1)        ，如问题3中的，问题4中的S＝π r2，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．

(2)        ，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率的关系表．

(3)        ，如问题1中的气温曲线．

二、课堂小结

当堂检测

1．下列说法中，不正确的是（    ）

 A．函数不是数，而是一种关系    B．多边形的内角和是边数的函数

 C．一天中时间是温度的函数      D．一天中温度是时间的函数

2．下列关系中，y不是x的函数的是(     )

3．最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是（  　）

A．8时水位最高

B．P点表示12时水位为0．6米

C．8时到16时水位都在下降       

D．这一天水位均高于警戒水位

4．设路程为s(km)，时间为t(h)，速度为v(km/h)，当v=60时，路程和时间的关系式为          ，这个关系式中，       是常量，       是变量，       是       的函数．

5．下表是某市2020年统计的该市女学生各年龄组的平均身高．

(1)从表中你能看出该市14岁的女学生的平均身高是       ；

(2)该市女学生的平均身高从        岁开始迅速增加；

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量？哪个是因变量？

6.分别写出下列各问题中的关系式，并指出各关系式中的常量和变量．

（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；

（2）一支蜡烛原长为20 cm，每分钟燃烧0.5 cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y（cm）与x（分钟）之间的关系；

（3）有一边长为2 cm的正方形，若边长增加x cm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．长度 体积 质量

2．s=vt

二、新知预习

1．总价，铅笔的数量  铅笔的单价

2．π  S，r

【要点归纳】不同数值 保持不变

合作探究

一、探究过程

探究点1：常量与变量

问题1  

（1）-1℃， 2℃， 5℃    8时的气温为0℃

（2）5℃   -3℃

（3）3时~14时   0时~3时，14时~24时

（4）时间和气温的变化

（5）任意一个时刻对应的气温只有1个

结论：时间  气温  唯一

问题2  

（1）年利率y，存期x

（2）唯一

（3）随之增长

问题3

（1）波长λ，频率f

（2）唯一

（3）越小

（4）f·λ=300000  

问题4

（1）πr2

（2）π  2.25π  4π  9π  16π  

（3）2  半径r、圆的面积S   越大

（4）唯一

【要点归纳】变化  改变  气温T  时间t  不同数值  保持不变

探究点2：函数的有关概念

唯一  自变量  因变量  t  T  T  t  x  y  y  x  λ   f   f  λ  r  S  S  r

例1解:（1）y=180-2x．常量：-2,180；变量：底角度数x，顶角度数y.

（2）s=110t．常量：110；变量：路程s，时间t.

（3）S=5h．常量：5；变量：面积S，高h.

（4）l=20+0.2m．常量：20,0.2；变量：长度l，所挂物体的重量m.

（5）V=20-0.2t．常量：20,-0.2；变量：剩余水量V，放水时间t.

例2解：（1）（3）（5）（6）中y是x的函数，(2)（4）中y不是x的函数.因为(2)（4）中一个x的值可以对应两个y的值.

【针对训练】① ② ③

探究点3：函数的表示方式

（1）解析法  （2）列表法  （3）图象法

当堂检测

1.C  2.C  3.C  4.s=60t  60  s，t  s  t

5.解：（1）146.1 cm

（2）12

（3）上表反映了年龄组与女生平均身高之间的关系，年龄组是自变量，女生平均身高是因变量.

6.解：（1）β=90°-α，90°是常量，α、β是变量．

（2）y=20-0.5x，20，-0.5是常量，x，y是变量．

（3）y=（2+x）2-22=4+4x+x2-4=x2+4x，4是常量，x，y是变量．