人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念学案设计

4.1 数列的概念

1、数列的概念

（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

（3）数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.

（4）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

2、数列的分类

(1)按照项数有限和无限分：

(2)按单调性来分：

3、数列的两种常用的表示方法

（1）通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

①并不是所有的数列都有通项公式；②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

（2）递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

4、常用结论汇总——规律多一点

（1）若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝

（2）在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则

（3）型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；

（4）形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；

题型一 规律猜想

例1　数列的一个通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据数列分子分母的规律求得通项公式.

【详解】

由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.

故选：D

已知数列，则是这个数列的（    ）

A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项

【答案】B

【分析】

根据题中所给的通项公式，令，求得n=11，得到结果.

【详解】

令，解得n=11，故是这个数列的第11项.

故选：B.

题型二 递推公式

例 2　在数列中，，（，），则（    ）

A． B．1

C． D．2

【答案】A

【分析】

通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.

【详解】

，，，

可得数列是以3为周期的周期数列，

.

故选：A.

已知为数列的前项和，若，且，则________.

【答案】

【分析】

求得数列的周期，由此求得.

【详解】

由题意，，，，

∴数列是周期数列，且周期为4.

．

故答案为：

题型三　累加法

例 3　在数列中，，，则的通项公式为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式.

【详解】

由已知得，

所以

将上述个式子相加，整理的

又因为，所以．

故选A．

在数列中，且，，则的通项公式为__________．

【答案】

【解析】

在数列中，，，

上式相加：

题型四　累乘法

例 4 已知正项数列{an}中，a1＝1，(n＋2)·a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，n∈N*，则它的通项公式为(　　)

A．an＝   B．an＝

C．an＝   D．an＝n

【答案】　B

【解析】　由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，得(n＋2)2＋－(n＋1)＝0，

＝0，因为{an}是正项数列，所以＋1>0，

所以＝，

则an＝··…··a1＝··…·×1＝.故选B.　

若数列满足，，则______.

【答案】

【分析】

由已知得 ，，由此利用累乘法能求出an．

【详解】

数列{an}满足，∴

∴， ，

∴an＝

，又时也满足；

故答案为．

题型五　数列与函数

例 5　已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.

【详解】

解：，

当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；

当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.

所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，

所以数列中的最大项为a2或a3，且.

故选：A.

已知数列的通项公式是，那么这个数列是

A．递增数列 B．递减数列

C．常数列 D．摆动数列

【答案】A

【详解】

因为

因为函数单调递增，

所以数列是递增数列．

故选A．

1、数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】

由递推关系，可求出的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出即可.

【详解】

由，可得，

由，可得，，，，

由，可知数列是周期数列，周期为4，

所以.

故选：B.

2、在数列中，，则＝（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

试题分析：由题意得，，所以

．

3、在数列中，已知，则______.

【答案】

【分析】

令，根据换元法求通项，即可得出结果.

【详解】

令，则，

所以，

所以，

当时，上式也成立，

所以.

故答案为：.

4、已知数列满足:,则___________.

【答案】0

【分析】

先由条件得，然后

【详解】

因为

所以

因为，且

所以，即

故答案为：0

5、数列，，，，中，开始出现负值的项是第______项.

【答案】16

【分析】

根据数列特点得到数列的通项公式，再解不等式，求出的值.

【详解】

因为数列，，，，，

所以，当时，即，

解得：且，

所以数列开始出现负值的项是第.

故答案为.

6、在数列中，已知．若是的个位数字，则______．

【答案】4

【分析】

写出前几项可发现数列是一个周期为6的数列，利用周期性计算即可.

【详解】

由题意，，且是的个位数字，

∴根据以上的规律看出该数列是一个周期为6的数列，

.

 故答案为4.