2020-2021学年5.2 导数的运算学案

5.2 导数的运算

1、基本初等函数的导数公式

2、导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

（3）

3、复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

4、函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义：在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率。相应地，切线方程为：

题型一 函数求导

例1　已知函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

对函数求导，代入即得解.

【详解】

故选：C

已知函数，为的导函数，则的值为_______________.

【答案】2

【分析】

由题意可得：，据此求解的值即可.

【详解】

由题意可得：，

则.

故答案为2．

题型二 求导运算

例 2　求下列函数的导数．

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由导数的运算法则可求出；

（2）由导数的运算法则可求出.

【详解】

（1）由导数的运算法则可得；

（2）由导数的运算法则可得.

下列正确的是

A．                   B．

C．                    D．

【答案】D

【解析】

试题分析：,所以A不对，，所以B不对，所以C不对，是正确的，符合求导公式，故选D．

题型三 函数中含有导数值求导

例 3　已知，则（    ）

A．2018 B． C．2019 D．

【答案】B

【分析】

求出，令，即得.

【详解】

，

，

令，

.

故选：.

已知函数,则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先对原函数求导得,再将代入导函数即可得出结果.

【详解】

解: 已知函数,

求导可得,

则.

故选:B

题型四 含有参数的求导

例 4　若满足则等于_______．

【答案】﹣2

【分析】

根据函数的求导法则求得，再由于得出导函数为奇函数，通过奇函数的性质可求得的值.

【详解】

根据函数的求导法则得：，

由于，

所以导函数为奇函数，

所以，

故答案为.

已知函数，且，则的值为（  ）

A．1 B． C．-1 D．0

【答案】A

【解析】

 由题意得，函数的导数为，因为，

即，所以，故选A．

题型五 函数切线方程

例 5　已知，则曲线在点处的切线方程为________.

【答案】

【分析】

求出导函数，令，求出，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出以及，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.

【详解】

由，则，

当时，，解得，

所以，，

即，，

所以曲线在点处的切线方程为：，

即为.

故答案为：

曲线在点处的切线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.

【详解】

的导数为，

可得曲线在点处的切线斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，

即，

故选A.

题型六 参数问题

例 6 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是____

【答案】

【分析】

利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

【详解】

由已知函数的导数为

，，

即，，，即答案为：．

若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.

【答案】c=

【解析】

【试题分析】先求得，然后求得到，根据列方程求得的值.

【试题解析】

由于f(x)=,

所以f(c)=,

又f′(x)==,

所以f′(c)=.

由题意知f(c)+f′(c)=0,

所以+=0,

所以2c-1=0,得c=.

1、设，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求得导函数，由此解方程求得的值.

【详解】

依题意，所以.

故选：B

2、设函数f(x)＝，若，则a的值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题，求导，将x=-1代入可得答案.

【详解】

函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，

解得

故选D

3、已知函数的导函数为，且，则（   ）

A．-1 B． C． D．1

【答案】C

【解析】

，

据此有

本题选择C选项.

4、设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝(　　)

A．0          B．2        C．4 D．8

【答案】A

【解析】

因为，所以，令得，解得，所以，故选A.

5、曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)

A．         B．        C． D．

【答案】B

【解析】

；所以，所以曲线在点处的切线的斜率是，设曲线在点处的切线的倾斜角是，则，因为，所以，故选B.

6、下列结论不正确的是(　　)

A．若y＝3，则y′＝0

B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1

D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

【答案】D

【解析】

∵y＝sin x＋cos x，

∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.

故选D.

7、下列四组函数中导数相等的是(　　)

A．f(x)＝1与f(x)＝x

B．f(x)＝sin x与f(x)＝－cos x

C．f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin x

D．f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3

【答案】D

【解析】

　由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等.故选D.

8、设则等于(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由，得.

故选D.

9、已知函数，则的值为__________．

【答案】

【解析】

，，解得，故，故答案为.

10、求下列函数在指定点的导数：

（1） ，；

（2），．

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）由导数运算法则求导即可求解（2）由导数运算法则求导即可求解

【详解】

（1）， 

（2），

11、设函数，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为，求a，b的值．

【答案】

【分析】

利用导数的运算法则、几何意义即可得出．

【详解】

f′（x）=aex﹣，

∴f′（2）=，

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=x，

∴=，f（2）=+b=3，又a＞0，

解得．