2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第二次质量普查调研试卷（理科）

这是一份2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第二次质量普查调研试卷（理科），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设全集为R，集合A＝{y|y＝3x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|0＜x＜3}C．∅D．{x|1≤x＜3}
2．（5分）设复数，则z的虚部是（ ）
A．B．iC．D．i
3．（5分）设计如图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）在等比数列{an}中，a1+a3＝9，a5+a7＝36，则a1＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣5C．0D．﹣1
6．（5分）函数f（x）＝在其定义域上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）在平行四边形ABCD中，已知两邻边满足AD＝2AB＝2，且∠ABC＝，E为BC的中点，则•＝（ ）
A．1B．C．D．3
8．（5分）设X～N（1，1），且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取100000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ﹣σ）≈0.6827）
A．75385B．60375C．70275D．65865
9．（5分）设a，b为正数，若圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0关于直线ax﹣by+1＝0对称，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．10
10．（5分）设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；
③若l∥α，且m∥α，则l∥m；
④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．
则正确的命题个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．（5分）已知实数a、b，满足a＝lg56+lg2625，3a+4a＝5b，关于a、b下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜bD．2＜b＜a
12．（5分）已知点P是椭圆上异于顶点的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且•，则||的取值范围是（ ）
A．（0，2）B．C．（0，4）D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置。）
13．（5分）已知sinα＝3csα，则sin2α﹣2cs2α＝ ．
14．（5分）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米．疫情期间为了更加安全，规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据这一规定，该会议室最多可容纳的参会人数为 ．
15．（5分）在正方体AC1中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段CC1上一动点（不含C），过M、N、P与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有 ．
①当P为CC1中点时，截面α为六边形；
②当时，截面α为五边形；
③当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形．
16．（5分）已知数列{an}中各项是从1、0、﹣1这三个整数中取值的数列，Sn为其前n项和，定义bn＝（an+1）2，且数列{bn}的前n项和为Tn，若S30＝﹣1，T30＝51，则数列{an}的前30项中0的个数为 个．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（12分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，为了响应国务院扶贫办确定的“精准扶贫”政策，某单位决定定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x．将指标x按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定：
若0≤x＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”．已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%．
（Ⅰ）根据频率分布直方图求这100户村民贫困指标x的平均值及甲、乙两村“绝对贫困户”的总户数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关．
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
18．（12分）已知，如图是为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量得到的数据．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m．求由D、E、F三点构成的三角形的外接圆的半径R．
19．（12分）如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2AD＝2AF＝2（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）当EF⊥CF时，求异面直线BF与EC所成角的余弦值．
20．（12分）如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为k1，k2，k3，判断是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）+2x≥g（x）+xa，对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的最大值．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知在极坐标系中，点A的极坐标为（1，π），曲线C：ρ＝4cs（θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，若直线l过A点，且倾斜角为θ．
（Ⅰ）求直线l的参数方程与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于B、C两点，且+＝，求直线l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|，g（x）＝|ax+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤1﹣x的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+g（x）≥2x在区间（，1）上恒成立，求a的取值范围．
2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第二次质量普查调研试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设全集为R，集合A＝{y|y＝3x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|0＜x＜3}C．∅D．{x|1≤x＜3}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵全集为R，集合A＝{y|y＝3x，x＜1}＝{y|0＜y＜3}，
B＝{x|y＝}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，
∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．
故选：D．
2．（5分）设复数，则z的虚部是（ ）
A．B．iC．D．i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部的概念得答案．
【解答】解：复数＝＝＝，
∴z的虚部是．
故选：A．
3．（5分）设计如图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件，即表示开关A闭合时灯泡B不一定亮，但是灯泡B亮时开关A一定闭合．
【解答】解：选项A中，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，
选项B中，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，
选项C中，开关A和开关C都闭合时灯泡B才亮，
选项D中，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，
故选：C．
4．（5分）在等比数列{an}中，a1+a3＝9，a5+a7＝36，则a1＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】利用等比数列通项公式求出q2＝2，由此能求出a1．
【解答】解：在等比数列{an}中，a1+a3＝9，a5+a7＝36，
∴q4＝＝＝4，解得q2＝2，
∴a1+a3＝3a1＝9，
解得a1＝3．
故选：D．
5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣5C．0D．﹣1
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
化z＝﹣2x+y为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣2．
故选：A．
6．（5分）函数f（x）＝在其定义域上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，
f（x）＝，则f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当x→+∞，f（x）＞0，排除C，
故选：D．
7．（5分）在平行四边形ABCD中，已知两邻边满足AD＝2AB＝2，且∠ABC＝，E为BC的中点，则•＝（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】利用平面向量的线性运算，可得，再利用向量的数量积公式，即可求解．
【解答】∵，，
∵E为BC的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴＝，
∵∠ABC＝60°，四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝120°，
∵AD＝2AB＝2，
∴＝，
故选：B．
8．（5分）设X～N（1，1），且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取100000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ﹣σ）≈0.6827）
A．75385B．60375C．70275D．65865
【分析】利用正态曲线的对称性分析求解即可．
【解答】解：因为X～N（1，1），P（μ﹣σ＜X≤μ﹣σ）≈0.6827，
向正方形ABCD中随机投掷一个点，这个点落在阴影部分的概率为，
所以阴影部分的10000×0.65865＝65865．
故选：D．
9．（5分）设a，b为正数，若圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0关于直线ax﹣by+1＝0对称，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．10
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得2a+b＝1，然后利用“1”的代换及基本不等式求最值．
【解答】解：由x2+y2+4x﹣2y+1＝0，得（x+2）2+（y﹣1）2＝4，
则圆心坐标为（﹣2，1），
∵圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0关于直线ax﹣by+1＝0对称，
∴﹣2a﹣b+1＝0，即2a+b＝1，
又a，b为正数，∴＝＝（）（2a+b）
＝5+．
当且仅当a＝b＝时上式等号成立．
∴的最小值为9．
故选：A．
10．（5分）设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；
③若l∥α，且m∥α，则l∥m；
④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．
则正确的命题个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据空间线面平行，垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
【解答】解：①根据线面平行的性质知，若m∥l，且m⊥α，则l⊥α正确；故①正确，
②根据面面垂直的性质知，若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n正确；故②正确，
③若l∥α，且m∥α，则l∥m不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误，
④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β不一定成立，有可能相交．故④错误，
故正确的是①②③，
故选：B．
11．（5分）已知实数a、b，满足a＝lg56+lg2625，3a+4a＝5b，关于a、b下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜bD．2＜b＜a
【分析】lg2625＞lg3625＝lg65，再构造函数f（x）＝3x+4x﹣5x和0比大小，可解决此题．
【解答】解：a＝lg56+lg2625＞lg56+lg3625＝lg56+lg65＞2＝2，∴不选AB；
令f（x）＝3x+4x﹣5x，x＞2
设t＝x﹣2＞0，则x＝t+2，∴g（t）＝9×3t+16×4t﹣25×5t＜25×4t﹣25×5t＜0，∴f（x）＜0，∴3x+4x＜5x，
∴3a+4a＝5b＜5a，∴b＜a，
故选：D．
12．（5分）已知点P是椭圆上异于顶点的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且•，则||的取值范围是（ ）
A．（0，2）B．C．（0，4）D．
【分析】由题意画出图形，延长PF2，F1M相交于一点A，由已知可得|PF1|＝|PA|，可得|OM|＝|F2A|＝|2|PF1|﹣（|PF1|+|PF2|）|＝||PF1|﹣8|，求出|PF1|的范围，则答案可求．
【解答】解：如图，
∵M是∠F1PF2平分线上的一点，且•，
延长PF2，F1M相交于一点A，则|PF1|＝|PA|，
∴M为F1A的中点，连接OM，可得|OM|＝|F2A|＝|2|PF1|﹣（|PF1|+|PF2|）|
＝|2|PF1|﹣2a|＝||PF1|﹣8|，
∵P在椭圆上且P不是椭圆的顶点，∴|PF1|∈（a﹣c，a+c）且|PF1|≠a，
则|PF1|∈（4，12）且|PF1|≠8，
∴|OM|∈（0，4）．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置。）
13．（5分）已知sinα＝3csα，则sin2α﹣2cs2α＝ ．
【分析】由已知结合同角基本关系求出tanα，然后由sin2α﹣2cs2α＝，代入求解即可．
【解答】解：因为sinα＝3csα，所以tanα＝3，
所以sin2α﹣2cs2α＝＝＝．
故答案为：．
14．（5分）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米．疫情期间为了更加安全，规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据这一规定，该会议室最多可容纳的参会人数为 11 ．
【分析】分布安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位置是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．
【解答】解：第一步：在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，
第二步：在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二个或第三个座位，
第三步：若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，
第四步：在第四排安排3人就坐，且空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3＝10人，
重复第三步：若第二排空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，
重复第四步：在第四排安排3人就坐，且空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3＝11人，
故答案为：11．
15．（5分）在正方体AC1中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段CC1上一动点（不含C），过M、N、P与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有 ①②③ ．
①当P为CC1中点时，截面α为六边形；
②当时，截面α为五边形；
③当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形．
【分析】对于的值分类讨论：＝，＜1，0＜＜，即可得出截面情况．
【解答】解：对于①：延长MN交AD于M′，交CD于N′，
延长N′P至T，M′P至S，
此时STNMP′为截面α的六边形，故①正确；
对于②：当时，直线PN′与线段DD1的交点T，连接TM交线段AA1于点P，
连接可得截面α为五边形TPNMP′；
对于③：当＜1时，由①同理可得：此时STNMP′为截面α的六边形．
当P为C1点时，其截面A1C1NM为四边形，且为等腰梯形.
综上可得：①②③都正确．
故答案为：①②③．
16．（5分）已知数列{an}中各项是从1、0、﹣1这三个整数中取值的数列，Sn为其前n项和，定义bn＝（an+1）2，且数列{bn}的前n项和为Tn，若S30＝﹣1，T30＝51，则数列{an}的前30项中0的个数为 7 个．
【分析】要判断数列{an}的前30项中0的个数，可以先弄清有多少个1或﹣1，根据S30＝﹣1，T30＝51，可求出++…+，再求出数列{an}的前30项中0的个数．
【解答】解：∵S30＝﹣1，∴a1+a2+…+a30＝﹣1，
∵T30＝51，∴，
即，
∴，
又∵数列{an}中各项是从1、0、﹣1这三个整数中取值的数列，
∴或0，
∴数列{an}的前30项中0的个数为30﹣23＝7，
故答案为：7．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（12分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，为了响应国务院扶贫办确定的“精准扶贫”政策，某单位决定定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x．将指标x按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定：
若0≤x＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”．已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%．
（Ⅰ）根据频率分布直方图求这100户村民贫困指标x的平均值及甲、乙两村“绝对贫困户”的总户数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关．
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中平均数的计算方法可得贫困指标x的平均值；再由频数/组距×组距×样本容量，即可得甲、乙两村的“绝对贫困户”的户数；
（Ⅱ）先计算甲村“绝对贫困户”的总户数，再填写2×2列联表，然后根据K2的参考公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即可．
【解答】解：（Ⅰ）这100户村民贫困指标x的平均值＝（0.1×0.25+0.3×0.50+0.5×0.75+0.7×2+0.9×1.50）×0.2＝0.66，
由频率分布直方图知，甲、乙两村的“绝对贫困户”的户数为（0.25+0.50+0.75）×0.2×100＝30户，
（Ⅱ）∵此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%，
∴甲村“绝对贫困户”的总户数为50×24%＝12户，
补充完整的2×2列联表如下所示，
∴K2＝＝≈1.714＜2.706，
故没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关．
18．（12分）已知，如图是为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量得到的数据．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m．求由D、E、F三点构成的三角形的外接圆的半径R．
【分析】分别在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF，DE再算出EF＝150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cs∠DEF的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠DEF，进而根据正弦定理即可求解．
【解答】解：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M．
DF＝＝＝10（m），
DE＝＝＝130（m），
EF＝＝＝150（m）．
在△DEF中，由余弦定理，
得cs∠DEF＝＝＝，可得sin∠DEF＝＝，
由D、E、F三点构成的三角形的外接圆的半径为R，在△DEF中，可得2R＝＝（m）．
解得R＝（m）．
19．（12分）如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2AD＝2AF＝2（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）当EF⊥CF时，求异面直线BF与EC所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）取DE中点M，连接AM，证明EF∥AM，可得AM∥平面BEF，连接AC、BD，设AC∩BD＝N，证得MN∥BE，可得MN∥平面BEF，由面面平行的判定可得平面AMN∥平面BEF，从而得到AC∥平面BEF；
（Ⅱ）在平面ADEF中，证明EF⊥FD，结合EF⊥CF，可得EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，再由CD⊥AD，得到CD⊥平面ADEF，得到CD⊥DE，由已知求解CE、CM，证明BF∥CM，可得∠ECM为异面直线BF与EC所成角（或其补角），再由余弦定理求解．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，取DE中点M，连接AM，可得FA∥EM，FA＝EM，
则四边形AMEF为平行四边形，得EF∥AM，
EF⊂平面BEF，AM⊄平面BEF，∴AM∥平面BEF．
连接AC、BD，设AC∩BD＝N，则N为BD的中点，连接MN，
则MN∥BE，
BE⊂平面BEF，MN⊄平面BEF，∴MN∥平面BEF．
又AM∩MN＝M，AM、MN⊂平面AMN，
∴平面AMN∥平面BEF，而AC⊂平面AMN，
∴AC∥平面BEF；
（Ⅱ）解：在平面ADEF中，由FD＝FE＝，DE＝2，
可得EF2+FD2＝ED2，即EF⊥FD，
又EF⊥CF，FD∩CF＝F，∴EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，
又CD⊥AD，AD与EF相交，∴CD⊥平面ADEF，则CD⊥DE．
在Rt△CDE中，求得CE＝2，在Rt△CDM中，求得CM＝，
∵FM∥BC，FM＝BC，∴四边形BCMF为平行四边形，可得BF∥CM，
则∠ECM为异面直线BF与EC所成角（或其补角），
在△ECM中，由余弦定理可得csECM＝．
故异面直线BF与EC所成角的余弦值为．
20．（12分）如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为k1，k2，k3，判断是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由F的坐标求出点M的坐标，代入抛物线方程，即可求出p的值，从而得到抛物线E的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M（，1），F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x＝ky+，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得y1+y2＝2k，y1y2＝﹣1，
联立直线l与准线方程，求出点C的坐标，利用斜率公式表达出k1，k2，k3，把y1+y2＝2k，y1y2＝﹣1代入k1+k2的表达式，化简整理，即可得到＝2为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵F（，0），四边形DFMN是边长为1的正方形，
∴M（，1），代入抛物线E方程y2＝2px得：p＝1，
∴抛物线E的方程为：y2＝2x．
（Ⅱ）是定值，理由如下：
由（Ⅰ）可知M（，1），F（，0），
设直线l的方程为x＝ky+，
联立方程，消去x得：y2﹣2ky﹣1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1+y2＝2k，y1y2＝﹣1，
联立方程，得C（﹣，﹣），
∵k1＝kMA＝＝，＝，
∴k1+k2＝+＝+＝+＝＝（2﹣），
把y1+y2＝2k，y1y2＝﹣1代入得：
k1+k2＝2（1+），
∵＝1+，
∴＝2为定值．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）+2x≥g（x）+xa，对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的最大值．
【分析】（Ⅰ）对g（x）求导，然后分a≥0及a＜0讨论得出单调性情况；
（Ⅱ）原不等式可转化为ex+lnex≥lnxa+xa，设h（x）＝lnx+x（x＞0），求出h（x）的单调性，可知当x＞1时，，设，求出φ（x）的最小值即可得解．
【解答】解：（Ⅰ），
当a≥0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令g′（x）＞0，解得x＞﹣a，令g′（x）＜0，解得0＜x＜﹣a，
∴g（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；
综上，当a≥0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，g（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）f（x）+2x≥g（x）+xa即为ex+x≥alnx+xa，即ex+lnex≥lnxa+xa，
设h（x）＝lnx+x（x＞0），则，
易知函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
而h（ex）≥h（xa），所以ex≥xa，即x≥alnx，当x＞1时，即为，
设，则，
易知函数φ（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴φ（x）≥φ（e）＝e，
∴a≤e，即a的最大值为e．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知在极坐标系中，点A的极坐标为（1，π），曲线C：ρ＝4cs（θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，若直线l过A点，且倾斜角为θ．
（Ⅰ）求直线l的参数方程与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于B、C两点，且+＝，求直线l的斜率．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出t的值．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出t的值．
【解答】解：（Ⅰ）点A的极坐标为（1，π），转换为直角坐标为（﹣1，0），
所以直线l的参数方程为（t为参数），
曲线C：ρ＝4cs（θ﹣），根据，转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．
（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线C的方程得到：，
所以，
t1t2＝3，
故，
整理得，
故，
令sin，，
则sin（θ+α）＝1，
故，
所以tan．
即直线l的斜率为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|，g（x）＝|ax+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤1﹣x的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+g（x）≥2x在区间（，1）上恒成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，可得所求解集；
（Ⅱ）原不等式等价为|ax+1|≥1，x∈（，1），运用绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤1﹣x即为|2x﹣1|≤1﹣x，
可得x﹣1≤2x﹣1≤1﹣x，
解得x≥0，且x≤，
则原不等式的解集为[0，]；
（Ⅱ）不等式f（x）+g（x）≥2x在区间（，1）上恒成立，
即为|2x﹣1|+|ax+1|≥2x，即2x﹣1+|ax+1|≥2x，
也即|ax+1|≥1，x∈（，1），
所以ax+1≥1或ax+1≤﹣1，
即ax≥0或ax≤﹣2，
可得a≥0或a≤﹣恒成立，
由x∈（，1），可得﹣∈（﹣4，﹣2），
所以a≥0或a≤﹣4．
即a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．
√
√
√
甲村
乙村
总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
√
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甲村
乙村
总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
甲村
乙村
总计
绝对贫困户
12
18
30
相对贫困户
38
32
70
总计
50
50
100