2021年人教版高中数学选择性必修第二册期末模块检测（提升卷）（解析版）

选择性必修第二册 期末模块检测试卷 能力提升B卷

解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟

一、单选题

1．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（    ）

A．3 B． C．-3 D．

【答案】D

【分析】

设数列是公差为，，根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；

【详解】

解：设数列是公差为，，首项为，因为

所以，所以，所以

所以

故选：D

2．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】

根据已知分析数列的周期性，可得答案．

【详解】

解：∵，，∴，，，.

∴该数列是周期数列，周期.

又，∴，

故选：A.

3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则的值为（    ）.

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】

由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为，进而可求出答案

【详解】

由题设可知，斐波那契数列为：

其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：

，

，

，

，

，

则

.

故选：B.

4．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】

先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值.

【详解】

时，，

因为，

所以时，，

两式相减得到，故时不适合此式，

所以，

当时，，

当时，，

所以；所以t的最小值；

故选：C.

【点睛】

方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

5．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=

A． B．7 C．6 D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝

故答案为

考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．

6．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在 ，
满足

∴方程在区间有两个不相等的解，
令，
则，

解得

∴实数的取值范围是.

故选:A．

7．若函数满足，则的值为（    ）．

A．1 B．2 C．0 D．

【答案】C

【分析】

求导得到，取带入计算得到答案.

【详解】

，则，

则，故.

故选：C.

【点睛】

本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集.

【详解】

由，而知：在上单调减，

而，即，又知：，

∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，

∴在上单调增，即，可得，

综上，有，

故选：A

【点睛】

思路点睛：由与组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.

二、多选题

9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．与均为的最大值

【答案】BD

【分析】

设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.

【详解】

根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A错误；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的.

∵，，∴与均为的最大值，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.

10．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若该数列的前三项依次为，，，则

D．数列为递减的等差数列

【答案】AC

【分析】

令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.

【详解】

令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；

由，所以，故B错误；根据等差数列的性质，可得，所以，，

故，故C正确；

由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

解决数列的单调性问题的三种方法；

1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；

2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；

3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.

11．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C． D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【分析】

求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时， ，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.

【详解】

由题意，函数，可得，

令，即，解得，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；

由当时，，

因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，

当时，可得，所以函数在上没有零点，

综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；

由函数在上单调递减，可得，

由于，

则，

因为，所以，即，

所以，所以C正确；

由在上恒成立，即在上恒成立，

设，则，

令，即，解得，

所以当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

所以，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（    ）

A．为单调递增的等差数列 B．

C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的的最大值为6

【答案】BCD

【分析】

令，利用可得，，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，，可推出，可得D正确.

【详解】

令，则，

，，

因为是等比数列，所以，即，，，B正确；

，是公差为的递减等差数列，A错误；

，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；

，，，

时，，时，，时，，，时，，又，，所以使得成立的的最大值为6，D正确.

故选：BCD

【点睛】

关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.

三、填空题

13．求和：___________ ．

【答案】

【解析】

易知该数列的通项，故该数列的前n项和为

14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．

【答案】

【分析】

将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.

【详解】

由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，

可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，

最后一个音是最初那个音的频率的2倍，

，，

，

．

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.

15．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.

【答案】

【分析】

由题意得，，消去，可得，化简得，得，则有

【详解】

由题设可知：

由是，的等差中项，则①，

是，的等比中项，则②，

则有①②可知：③，

，，

则将③式变形得：，

即，

则.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：此题考查等差中项、等比中项的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是由已知条件得，，消去，可得，再利用三角函数恒等变换公式化简可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题

16．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论：

① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

其中所有正确结论的序号是_____．

【答案】①③④

【分析】

理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.

【详解】

①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】

思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.

四、解答题

17．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，____.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n和.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】

（1）若选①可得为常数数列，即可求出；若选②利用可得，即可得为常数数列，即可求出；若选③利用可得

，即可得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；

（2）利用错位相减法求和；

【详解】

选条件①时，

（1）时，整理得，

所以.

（2）由（1）得：，

设，其前项和为，

所以 ①，

②，

①②得：，

故，

所以.

选条件②时，

（1）由于，

所以①，当时，②，

①②得：，

，

整理得，

所以.

（2）由（1）得：，

设，其前项和为，

所以 ①，

②，

①②得：，

故，

所以.

选条件③时，

由于，    ①

②

①②时，，整理得（常数），

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以.

（2）由（1）得：，

设，其前项和为，

所以①，

②，

①②得：，

故，

所以.

【点睛】

数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

18．已知为等差数列，为等比数列，，，.

（1）求和的通项公式；

（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式；

（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，推导出：当为正奇数时，，当为正偶数时，，利用裂项相消法可求出，利用错位相减法可求得，进而可求得数列的前项和.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，则，可得，所以，

因为，，所以，整理得，解得，

所以；

（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，

当为奇数时，，

当为偶数时，，

对任意的正整数，，

，①，

由①得，②，

①②得，

化简得.

因此，数列的前项和为.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

19．已知函数()．

（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（2）证明：当时，．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】

（1）由题意转化为有两个变号零点，再参变分离后得，利用图象求的取值范围；（2）首先构造函数()，求函数的二次导数，分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式.

【详解】

（1）的定义域为，，

若函数有两个极值点，则有两个变号零点，

等同于，

即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，

令，的定义域为，则，令，解得，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递减，

则为的极大值，也为最大值，

当时，，

当时，，

当时，且为正数，

则的图像如图所示，则此时；

（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，

则，令，

则，

当时，，，，

则，则在时单调递增，

又，

∴时，，则在时单调递增，

∴当时，即当时，．

【点睛】

方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

其中一种重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口.

20．已知数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由题可知数列为等比数列，公比，进一步求出的通项公式，所以，利用累加法求出数列的通项公式；

（2）利用对数列进行放缩 ，化简求出答案.

【详解】

（1），所以数列为等比数列，公比，所以，所以

（2）证明：

【点睛】

放缩法的注意事项：

（1）放缩的方向要一致。

（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。

（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。

21．设函数

（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.

（2））讨论在上的单调性；

（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.

【答案】（1）（2）见解析（3），见解析

【分析】

（1）根据单调区间判断出是极值点，由此根据极值点对应的导数值为求解出的值，并注意验证是否满足；

（2）先求解出，然后结合所给区间对进行分类讨论，分别求解出的单调性；

（3）构造函数，分析的取值情况，由此求解出的取值范围；将证明通过条件转化为证明，由此构造新函数进行分析证明.

【详解】

（1）由于函数函数在上递增，在上递减，

由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，

∵，

故，此时满足是极大值点，

所以；

（2）∵，

∴，

①当时，在上单调递增.

②当，即或时，，

∴在上单调递减.

③当且时，

由 得.

令得；令得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上递增；

当或时，在上递减；

当且时，在上递增，在上递减.

（3）令，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故在处取得最小值为

又当，由图象知：

不妨设，则有，

令

在上单调递增，故

即，

【点睛】

本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题，难度较难.（1）已知是的极值点，利用求解参数值后，要注意将参数值带回验证是否满足；（2）导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.

22．已知函数，其中.

（1）讨论的单调性.

（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.

【分析】

（1）先求出函数的导数，再对a进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；

（2）对a进行分类讨论，分为，，三种情况，利用导数研究函数的最值，从而进行分析求解即可.

【详解】

（1）由，得，

当时，对任意，，所以单调递减；

当时，令，得，

当时，，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）存在满足条件的实数，且实数的值为，

理由如下：

①当，且时，由（1）知，在上单调递减，

则时，，

则，

所以此时不满足题意；

②当时，由（1）知，在上，单调递增，

在上，单调递减，

则当时，，

当时，对任意，

，

所以此时不满足题意；

③当时，令（），

由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减，

所以，，

若对任意的，总存在，使得，

则，，即，

所以，解得，

综上，存在满足题意的实数，且实数的值为.

【点睛】

方法点睛：利用导数研究函数的单调性的一般步骤：①确定函数的定义域；②求导函数；③若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或（不恒等于0）即可.