高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试单元测试课时训练

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专题4. 6《数列》单元测试卷（B卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·贵州毕节市·贵阳一中高三月考（理））已知等差数列的前n项和为，=5，则=（    ）A．5 B．25 C．35 D．50【答案】B【解析】由题意可知，为等差数列，所以故选：B2．（2020·全国高二课时练习）设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（    ）A． B． C． D．与均为的最大值【答案】C【解析】由于，，所以，，，所以，与均为的最大值．而，所以，所以C选项结论错误．故选:C．3．（2021·山东高三专题练习）在等差数列中，，.记，则数列（    ）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.4．（2020·河南高二月考（文））在数列中，，，则（    ）A． B． C． D．3【答案】A【解析】∵，，∴，，，.∴该数列是周期数列，周期.又，∴，故选：A.5．（2020·贵州毕节市·贵阳一中高三月考（理））古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．6．（2020·四川师范大学附属中学高二期中（文））已知等比数列中，，则数列的前项之和是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由，可得，解得，又由，解得，所以，则，数列的前项之和为.故选：.7．（2021·全国高二课时练习）数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则．要使，即，可得，，∴n=23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是和，故选：C8．（2020·浙江高三月考）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知对都有成立，即，即又数列是首项为，公差为1的等差数列，且数列是单调递增数列，当时，，所以，，即，解得.即实数的取值范围是故选：D9．（2020·成都市·四川电子科大实验中学高一期中）设数列满足，，则数列的通项公式为（    ）．A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以当时，，，，，将上式累加得：，，即，又时，也适合，．故选：B．10．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（    ）.A．8 B．9 C．11 D．10【答案】D【解析】由题意可知：，即，即，又，，即数列是以首项为9，公比为的等比数列，，即，，，则，即，又，满足不等式的最小整数，即.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2019·四川省大竹中学高二期中（文））已知等比数列的公比，且，则_______________________.【答案】【解析】等比数列的公比且.故答案为：.12．（2020·浙江高一期末）在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠______日可相逢.【答案】6【解析】大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则，即，即 ，令 ，在上是增函数，又，所以相遇时是第6天，故答案为：613．（2020·成都市·四川电子科大实验中学高一期中）朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．【答案】【解析】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，，，．故答案为：14．（2020·全国高二）如图所示，某地区为了绿化环境，在区域内大面积植树造林，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，根据此规律按图中箭头方向每隔个单位种棵树，那么：（1）第棵树所在点的坐标是，则______；（2）第棵树所在点的坐标是______．【答案】        【解析】（1）设为第一个正方形，种植棵树，依次下去，第二个正方形种植棵树，第三个正方形种植棵树，构成公差为的等差数列，个正方形有棵树，由第棵树所在点坐标是，则；（2）由（1）可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为，故前个正方形共有棵树，又，，，因此第棵树在点处．15．（2020·浙江高一期末）若对任意，都有，（n为正整数），则_______.______.【答案】        【解析】因为对任意，都有，（n为正整数），所以当时，，，所以，解得，所以或，所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以是以1为首项，以-1为公比的等比数列，所以，两式联立得：，故答案为：0，16．（2020·全国高二课时练习）在数列中，，且．（1）的通项公式为__________；（2）在这2019项中，被10除余2的项数为__________．【答案】    403    【解析】（1），且，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，．（2）被10除且余数为2的整数可表示为，令，可得，，且奇数，∴n为10的倍数或为5的奇数倍且n为偶数．当n为10的倍数时，n的取值有10、20、30、…、2010，共201个；当为5的奇数倍且n为偶数时，n的取值有8、18、28…、2018，共202个．综上所述，在这2019项中，被10除余2的项数为201+202=403．故答案为：；40317．（2020·苏州市相城区陆慕高级中学高二期中）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0， 2，4， 8，12， 18， 24， 32， 40， 50， 则此数列第19项的值为____．此数列的通项公式______．【答案】        【解析】观察前10项可得，，，，，，即当为奇数时，，所以；又，，，，，即当为偶数时，；所以.故答案为：；.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·河南高二月考（文））已知公差不为零的等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为，因为等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列，所以解得∴.（2）∵，∴，，∴数列是首项为，公比为9的等比数列，∴.19．（2020·山西高三期中（理））已知正项数列的前n项和为，满足（，），．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和的表达式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）正项数列的前n项和为，满足（，），所以，整理得：，由于数列为正项数列，所以（常数），所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，易见也适合该式．由于，，当n为奇数时，，n为偶数时，，所以，，，，所以 ．20．（2020·全国高二（文））已知数列和都是等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列的公差为，∵，∴，，则，，，又数列是等差数列，∴，化简得，解得，则；（2）由（1）可知，当时，，，符合，当时，，，综上，当时，．21．（2020·四川省都江堰中学高一期中）已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式.（2）若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解.【答案】（1）证明见解析；；（2）8.【解析】（1）由取倒数得，即，所以为公差为的等差数列，.（2）当时，，所以这样有个，，，，两式相减得：，所以为递增数列.，，，所以最大正整数解为8.22．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知．（1）设，，求．（2）设，，且，问是否存在最小正整数，使得对任意，都有成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）由得：，则，故是以为首项，为公差的等差数列，，由可得，故．（2），，，由题干对任意，都有成立得，由得，，解得：，又为正整数，，综上，存在，使得对任意，都有成立．