北京课改版八年级上册12.1 三角形教案设计

这是一份北京课改版八年级上册12.1 三角形教案设计，共5页。

1. 与角平分线有关的辅助线
2. 与线段长度相关的辅助线
3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线
4. 与中点相关的辅助线
5. 构造一线三垂直（等角）
6. 等面积法
考点一：与角平分线有关的辅助线
可向两边作垂线。（2）可构造等腰三角形
（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
【例1】 已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE ⊥BD交BD延长线于E．求证：CE＝BD．
【例3】如图，AC平分∠BAD，CD＝CB，AB＞AD，求证：∠B+∠D＝180°．
考点二：与线段长度有关的辅助线
（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，
求证：AB＝AC+CD．
考点三：与等腰、等边三角形相关的辅助线
（1）考虑三线合一
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °
【例5】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.
考点四：与中点有关的辅助线
遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
【例6】如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
考点五：构造一线三垂直（等角）
【例7】（1）观察猜想：如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为 ；
（2）问题解决：如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；
（3）拓展延伸：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．
考点六：等面积法
（1）利用连线将一个大的三角形的面积切割为几个小三角形的面积和；
（2）连线后得到等底等高的三角形面积相等。
【例8】如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE，PF，PG，等边△ABC的高为AD．求证：PE+PF+PG＝AD．
针对性练习
1. 如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC＝∠ADC＝90°时，求证：AD+AB＝AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
2、已知：如图在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AE．
（1）求证：BE＝AD；
（2）连结CE，求∠CED的度数．
4、如图，AC＝BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∠MON＝45°，求证：CN+MN＝AM．