2021-2022学年度苏科版八年级数学上册第一次月考模拟试卷（第一，二章）（含解析）

这是一份2021-2022学年度苏科版八年级数学上册第一次月考模拟试卷（第一，二章）（含解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度苏科版八年级数学上册第一次月考模拟试卷（第一，二章）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )

A．BC=BD B．AC=AD C．∠ACB=∠ADB D．∠CAB=∠DAB
3．小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（ ）

A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
4．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
5．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB’关于直线AD对称，点B的对称点是点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B的度数为 （ ）

A．38° B．48° C．50° D．52°
6．如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6
9．数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，是的中点，平分，求证：．
小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点作交于点；②作，交于点；
③在上取一点，使得，连接；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）

12．如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第___块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是____．

13．顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．

14．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．

15．如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．

16如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形.

17．如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．


18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O．下列三个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③AE+DF=AF+DE．其中，一定正确的是________（填序号）．



三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）
19．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的；
（2）在直线上找出一点P，使得的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在正方形网格中存在____________个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．

20．已知：如图，在等边中，点、分别在边、上，与交于点，．（1）求证：；（2）求证：．



21．已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．




22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．




23．如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．




24．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=130°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．（直接写出答案）


25．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分判交BC于点E、F．
（1）如图，∠B=∠C=20°，求∠EAF的度数；

（2）如图，AB≠AC，且．
①若∠BAC=130°，则∠EAF=_______°；若∠BAC=n°，则∠EAF=_______°；
②当∠BAC=_______°时，AE⊥AF；③若BC=a，则△AEF的周长为____________．（用含a的式子表示）



























答案解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·江苏九年级二模）二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，注意：一个图形延一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形．
2．（2021·江苏八年级月考）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )

A．BC=BD； B．AC=AD； C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB
【答案】B
【详解】根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出：
A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；
C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．故选B．
点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
3．（2021·全国八年级专题练习）小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（ ）

A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【答案】C
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：51成轴对称，
所以此时实际时刻为10：51．故选：C．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
4．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．
5．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB’关于直线AD对称，点B的对称点是点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B的度数为 （ ）

A．38° B．48° C．50° D．52°
【答案】D
【分析】由对称的性质得，根据∠BAC＝90°可得，再根据直角三角形两锐角关系求解即可．
【详解】解：∵△ABD与△ADB’关于直线AD对称，∴
∵∠BAC＝90°，∠B’AC＝14°∴
∴ ∴ 故选D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质以及直角三角形两锐角关系，掌握轴对称的性质是本题的关键．
6．（2021·仪征市实验中学东区校八年级月考）如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】由条件可证△AOD≌△BOC，可得∠A=∠B，则可证明△ACE≌△BDE，可得AE=BE，则可证明△AOE≌△BOE，可得∠COE=∠DOE，可证△COE≌△DOE，可求得答案．
【详解】解：

在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B，
∵OC=OD，OA=OB，∴AC=BD，
在△ACE和△BDE中∴△ACE≌△BDE（AAS），∴AE=BE，
在△AOE和△BOE中∴△AOE≌△BOE（SAS），∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中
∴△COE≌△DOE（SAS），故全等的三角形有4对，故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
7．（2021·山东八年级期末）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD=∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A=30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD=∠BCD=∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=30°，∵∠CGF=∠D+∠BCD，∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，
∴∠BCA=116°，∴∠B=180°-30°-116°=34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=34°，故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH=DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积=△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：过点D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积=△DGH的面积，设△DEF的面积=△DGH的面积=S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积=△ADH的面积，
∴24-S=18+S，解得，S=3，故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
9．（2021·北京九年级专题练习）数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，是的中点，平分，求证：．
小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点作交于点；
②作，交于点；
③在上取一点，使得，连接；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，证明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF=AB，则得出结论；②作EF=EC，交AD于点F，不能证明结论；③在AD上取一点F，使得DF=DC，连接EF，证明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF=AB．则可得出结论．
【详解】解：①如图1，过作，垂足为点，

可得，则，平分，，
在和中，，；
，，，
是的中点，，，在和中，，
；，．
②如图2，作，交于点；
，，，根据不能证明，
这种辅助线的添加方式不能证明结论．
③如图3，在上取一点，使得，连接，
在和中，，；
，，
是的中点，，，
在和中，，；
，．故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
10．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，

过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2020·浙江杭州市·八年级模拟）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）

【答案】都是轴对称图形
【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．
【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．
12．（2021·云南玉溪市·八年级期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第___块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是____．

【答案】③ ASA
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】解：第①块和第②块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③，ASA．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
13．（2021·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．

【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．
则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．

【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
14．（2021·静宁县阿阳实验学校八年级期末）如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．

【答案】4．
【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故答案是：4．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
15．（2021·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．

【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°，故答案为：56．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
16．（2021·苏州市吴江区青云中学八年级月考）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形.

【答案】或
【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得．
【详解】由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上，此时，若是等腰三角形，则只有才满足
因此有解得
（2）点P在线段OB上，此时，若是等腰三角形，则其也是等边三角形
因此有解得
综上，当或时，是等腰三角形 故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
17．（2021·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．

【答案】22019
【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵、是等边三角形，
同理可得：∴，∴，，
，…，则的边长为．故答案为：22019．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
18．（2021·仪征市实验中学东区校八年级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O．下列三个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③AE+DF=AF+DE．其中，一定正确的是________（填序号）．

【答案】②③
【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确；②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF；③根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立．
【详解】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，∴AE+DF=AF+DE，故③正确；
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO=FO，
又∵AE=AF，∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；OA不一定等于OD，故①不一定正确；故答案为：②③．
【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．
三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）
19．（2021·仪征市实验中学东区校八年级月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的；
（2）在直线上找出一点P，使得的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在正方形网格中存在____________个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4
【分析】（1）分别作出△ABC的顶点关于直线l的对称点，顺次连接可得；
（2）作射线A1C，与直线l的交点即为点P；
（3）作线段BC的中垂线，从而得出符合条件的格点．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，点P即为所求，此时|PA-PC1|的值最大；
（3）如图，在正方形网格中存在4个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形，故答案为：4．
【点睛】本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于直线对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
20．（2021·苏州市八年级月考）已知：如图，在等边中，点、分别在边、上，与交于点，．（1）求证：；（2）求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△BCD即可解决问题；
（2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质即可解决问题；
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠ABE=∠C=60°，
在△ABE和△BCD中，，
∴△ABE≌△BCD（SAS），∴BD=AE；
（2）∵△ABE≌△BCD，∴∠BAE=∠CBD，
∴∠AFD=∠ABF+∠BAE=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（2021·苏州市八年级月考）已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．

【答案】（1）22；（2）∠EBC=30°．
【分析】（1）由AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，易得△EBC的周长=AC+BC；（2）由AB=AC，∠A=40°，即可得到∠ABC的度数，再根据∠ABE=∠A，即可得出∠EBC的度数．
【详解】解：（1）∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE=BE，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+12=22；
（2）∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，
又∵AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠EBC=70°-40°=30°．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22．（2021·仪征市实验中学东区校八年级月考）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【详解】证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
23．（2021·江苏八年级月考）如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．
【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．
（2）成立．证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．
【点睛】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．
24．（2021·江苏）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=130°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．（直接写出答案）

【答案】(1)见解析；(2) 是直角三角形，理由见解析；(3) 115°或100°或130°.
【分析】（1）根据得，则是等腰三角形，又，故是等边三角形；（2）根据可得，即，由题（1）可得，则，故是有一个锐角为的直角三角形；（3）由题（2）可知：，由三角形内角和定理得，然后分哪两个角为底角建立等式求解即可.
【详解】（1）是等腰三角形
又是等边三角形；
（2）当时，是直角三角形.理由如下：
，即由题（1）的结论可得
是有一个锐角为的直角三角形；
（3）由题（2）可知：
则在中，
当时，是等腰三角形，解得
当时，是等腰三角形，解得
当时，是等腰三角形，解得
综上，当为或或时，是等腰三角形.
【点睛】本题考查了三角形全等的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定.需要注意的是：题（3）中，由于未告知具体哪两个角是等腰三角形的底角，所以需要分三种情形.
25．（2021·仪征市实验中学东区校八年级月考）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分判交BC于点E、F．
（1）如图，∠B=∠C=20°，求∠EAF的度数；

（2）如图，AB≠AC，且．
①若∠BAC=130°，则∠EAF=_______°；若∠BAC=n°，则∠EAF=_______°；
②当∠BAC=_______°时，AE⊥AF；③若BC=a，则△AEF的周长为____________．（用含a的式子表示）
【答案】（1）100°；（2）①80，（2n-180）；②135；③a
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AF=CF，故可得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，进而可得出结论；（2）①根据∠BAC的度数得出∠B+∠C的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠BAE+∠CAF的度数，进而可得出结论；②由①中的结论可直接求得∠BAC的度数；③根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AF=CF，进而可得出结论．
【详解】解：（1）∵∠B=∠C=20°，∴∠BAC=180°-20°-20°=140°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴∠B=∠BAE=20°，∠C=∠CAF=20°，∴∠EAF=140°-20°-20°=100°；
（2）①∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°-130°=50°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°．同理，∵∠BAC=n°，∴∠B+∠C=180°-n°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴AE=BE，AF=CF，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∴∠BAE+∠CAF=180°-n°，∴∠EAF=n°-180°+n°=（2n-180）°．故答案为：80，（2n-180）°；
②设∠BAC=x°，由①得，∠EAF=（2x-180）°，
∵AE⊥AF，∴2x-180=90，x=135．故答案为：135；
③∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=a．故答案为：a．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．