人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试一课一练

这是一份人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试一课一练，共10页。试卷主要包含了下列5个关于x的方程等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度人教版九年级上册第21章《一元二次方程》单元复习卷
姓名 班级 座号 成绩
一．选择题
1．公式法解方程x2﹣3x﹣4＝0，对应a，b，c的值分别是（　　）
A．1，3，4 B．0、﹣3、﹣4 C．1、3、﹣4 D．1、﹣3、﹣4
2．将方程x2+2x﹣5＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6
3．下列各数是一元二次方程x2﹣4x＝﹣3的根的是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
4．下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣2＝0 B．2x2﹣5＝﹣3x
C．x2+2bx+b2＝0 D．x2﹣mx+m2＝﹣1
5．已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则第三边y长的取值范围是（　　）
A．y＜8 B．2＜y＜8 C．3＜y＜5 D．无法确定
6．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
7．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为（　　）
A．100（1+x）2＝240
B．100+100（1+x）2＝240
C．100+100x+100（1+x）2＝240
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝240
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
二．填空题
9．下列5个关于x的方程：①2x+1＝0；②y2+x＝1；③x2﹣1＝0；④x2+＝1；⑤x2+5x＝（x+3）（x﹣3）．其中是一元二次方程的是 　 　（填序号）．
10．若关于x的方程（a﹣1）x﹣7＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
11．一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的常数项是 　 　．
12．方程x2＝2020x的解是　 　．
13．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 　 　．
14．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为 　 　．
15．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为　 　．
16．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，则m的值是　 　．
三．解答题
17．已知关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x＝0．
（1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．



18．把下列一元二次方程化成一般形式：
（1）（2x﹣3）2﹣4x＝x（x+5）；



（2）（2x﹣3）（x+2）＝4x﹣5．



19．选择适当的方法解下列一元二次方程．
（1）x2＝9． （2）x2+2x+1＝0．



（3）x2+4x﹣5＝0． （4）2x2﹣3x﹣1＝0．




20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．




21．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为在月内赚取8000元的利润，同时又要使顾客得到实惠．售价应定为每件多少元？




22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．



23．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．





24．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．








参考答案
一．选择题
1．解：∵一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），
∴方程x2﹣3x﹣4＝0，对应a，b，c的值分别是1，﹣3，﹣4；
故选：D．
2．解：x2+2x﹣5＝0，
x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6，
故选：C．
3．解：方程化为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
故选：D．
4．解：A、∵x2﹣x﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、方程整理得2x2+3x﹣5＝0，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、∵x2+2bx+b2＝0，
∴Δ＝（2b）2﹣4×1•b2＝0，方程有两个相等的实数根；
D、方程整理得x2﹣mx+m2+1＝0
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1•（m2+1）＝﹣3m2﹣4＜0，方程没有实数根．
故选：D．
5．解：由方程x2﹣8x+15＝0，得x＝3或5．
则三角形的两边条的长是3和5，
根据三角形的三边关系，得5﹣3＜y＜5+3，
即2＜y＜8．故选：B．
6．解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
7．解：依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝240．
故选：D．
8．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
二．填空题
9．解：2x+1＝0是一元一次方程，所以①错误；
y2+x＝1是二元二次方程，所以②错误；
x2﹣1＝0是一元二次方程，所以③正确；
x2+＝1是分式方程，所以④错误；
方程x2+2x＝x2﹣1整理得5x＝﹣9，所以⑤错误．
故答案为③．
10．解：方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
11．解：一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的常数项是﹣8．
故答案为：﹣8．
12．解：∵x2﹣2020x＝0，
∴x（x﹣2020）＝0，
则x＝0或x﹣2020＝0，
解得x1＝0，x2＝2020，
故答案为：x1＝0，x2＝2020．
13．解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，
∴＝＝＝﹣5+2，
故答案为﹣5+2．
14．解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞，
∴c的取值范围是c＞．
故答案为：c＞．
15．解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），
∴矩形的长为（x+12）（步）．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
16．解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，
∴m﹣1＝3，
∴m＝4．
故答案为：4．
三．解答题
17．解：（1）根据题意，得k2﹣4＝0且k﹣2≠0．
解得k＝﹣2．
所以当k＝﹣2时，此方程是一元一次方程；
（2）根据题意，得k2﹣4≠0．
解得k≠±2．
此时一元二次方程的二次项系数是k2﹣4、一次项系数是k﹣2，常数项是0．
18．解：（1）（2x﹣3）2﹣4x＝x（x+5），
去括号：4x2﹣12x+9﹣4x＝x2+5x，
移项：4x2﹣x2﹣12x﹣5x+9﹣4x＝0，
合并同类项3x2﹣21x+9＝0，
（2）（2x﹣3）（x+2）＝4x﹣5，
去括号：2x2+4x﹣3x﹣6＝4x﹣5，
移项：2x2+x﹣4x﹣1＝0，
合并同类项2x2﹣3x﹣1＝0．
19．解：（1）∵x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
∴x1＝x2＝﹣1；
（3）∵x2+4x﹣5＝0，
∴（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（4）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
20．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，
解得m＞；
（2）设x1，x2是方程的两根，
根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜，
所以m的范围为＜m＜，
因为m为整数，
所以m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；
所以整数m的值为1．
21．解：设售价应定为每件x元，则每件获利（x﹣40）元，
由题意得[500﹣（x﹣50）×10]（x﹣40）＝8000．
化简得x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
因为要使顾客得到实惠，所以售价取x＝60．
答：售价应定为每件60元．
22．解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
23．解：（1）设AB＝x，则BC＝38﹣2x；
根据题意列方程的，
x（38﹣2x）＝180，
解得x1＝10，x2＝9；
当x＝10，38﹣2x＝18（米），
当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米；

（2）根据题意列方程得，
x（38﹣2x）＝200，
整理得出：x2﹣19x+100＝0；
Δ＝b2﹣4ac＝361﹣400＝﹣39＜0，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2．
24．解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；

（2）设经过t秒后，PQ的长度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为；

（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即，，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．