初中湘教版2.1 三角形课后练习题

这是一份初中湘教版2.1 三角形课后练习题，共12页。试卷主要包含了探究与发现，已知，课本拓展，知识链接等内容，欢迎下载使用。
第11章 《三角形》 单元同步提高训练（二）  1．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　                　．    2．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，点D在BC上，点E在AC上，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）求∠BFD的度数；（2）若EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，求∠HEG的度数．    3．（1）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；（2）交换（1）中的条件与结论，得到（1）的一个逆命题：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，E是BC上一点，AE与CD相交于点F，若∠CFE＝∠CEF，则∠CAE＝∠BAE．你认为这个问题是真命题还是假命题？若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例．     4．（1）如图1，在凹四边形ABCD中，∠BDC＝135°，∠B＝∠C＝30°，则∠A＝　   　°．（2）如图2，在凹四边形ABCD中，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点E，∠A＝60°，∠BDC＝140°，则∠E＝　   　°．（3）如图3，∠ABD，∠BAC的角平分线交于点E，∠C＝40°，∠BDC＝150°，求∠AEB的度数．（4）如图4，∠BAC，∠BDC的角平分线交于点E，猜想∠B，∠C与∠E之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．   5．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　     　；（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为　     　；（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系：　     　；（4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．   6．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点P旋转．（i）当直线MN与AB、AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由；（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．   7．课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？1．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？2．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝　    　；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　    　．3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）  8．知识链接：三角形三个内角的和是180度．（如图∠A是△ABC的一个内角）如图：△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BE、CF相交于点O．（1）如果∠A＝40度，求∠BOC的度数；（2）如果∠A＝50度，直接写出∠BOC的度数；（3）探求∠A和∠BOC的关系（用等式表示），并简要说明理由．   9．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　            　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　            　个；（3）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）   10．如图1，含30°角的直角三角板DEF（∠EDF＝30°）与含45°角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为BC的中点，将直角三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转∠α（0°＜α＜180°），在旋转过程中：（1）如图2，当∠α＝　   　°时，DE∥AB；当∠α＝　   　°时，DE⊥AB；（2）如图3，当直角三角板DEF的边DF、DE分别交BA、CA的延长线于点M、N时：①∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数的和；若变化，请说明理由；②若使得∠1＝2∠2，求出∠1、∠2的度数，并直接写出此时∠α的度数；③若使得∠1≥∠2，求∠α的度数范围．   11．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∠A1＝　   　°；（2）如图2，∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4，请写出∠A与∠A4的数量关系　   　；（3）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，试求∠Q与∠A1的数量关系．   12．（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠D＝40°，∠B＝30°，求∠E的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，求∠AEC的大小；当∠B：∠D：∠E＝2：4：x时，x＝　 　．（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠E与∠D、∠B之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请直接写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．13．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC＝32°，∠AEB＝70°．（1）求证：∠BAD：∠CAD＝1：2；（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．14．在△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别是边AC，AB上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠1+∠2＝　       　（用α的代数式表示）；（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠α，∠1，∠2之间的关系式．（不需要证明）   15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）仔细观察，在图2中有　 　个以线段AC为边的“8字形”；（2）在图2中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数．（3）在图2中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　． 16．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．    17．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　            　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　            　个；（3）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）   18．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE．   19．已知，如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE、CD相交于点F．（1）若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠CFE＝∠CEF；（2）若∠ACB＝∠CDB＝m（0°＜m＜180°）．①求∠CEF﹣∠CFE的值（用含m的代数式表示）；②是否存在m，使∠CEF小于∠CFE，如果存在，求出m的范围，如果不存在，请说明理由．     20．如图1，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是　          　研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是　          　研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是　          　．