数学上教版（2020）4.2 指数函数同步练习题

这是一份数学上教版（2020）4.2 指数函数同步练习题，共27页。试卷主要包含了若f，已知，则，已知函数f，已知a＝，b＝，若，，，则，设函数f，已知实数a、b、c满足等内容，欢迎下载使用。
A．1B．2C．D．
2．若f（x）＝lgx，A＝f（），B＝f（），C＝f（），则A，B，C的大小关系是（ ）
A．A＜B＜CB．B＜A＜CC．C＜B＜AD．C＜A＜B
3．已知，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
4．若a＝lg23，b＝lgπ3，c＝lgb3，则下列结论正确的是（ ）
A．c＜a＜bB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
5．已知函数f（x）＝lg2（3+x）+lg2（3﹣x），则f（1）＝（ ）
A．1B．lg26C．3D．lg29
6．已知，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，那么（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
7．已知a＝，b＝（）2，c＝ln3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
8．若，，，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
9．设函数f（x）＝lg2（x﹣1）+，则函数f（）的定义域为（ ）
A．（1，2]B．（2，4]C．[1，2]D．[2，4）
10．已知实数a、b、c满足：alg2a＝1，blg3b＝1，c＝（）π，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b
11．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x﹣a的图象关于直线y＝x对称，且f（2）+f（4）＝1，则a＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
12．设ln2x﹣lnx﹣2＝0的两根是α、β，则lgαβ+lgβα＝（ ）
A．B．C．D．
13．对于0＜a＜1，0＜b＜1，给出下列四个不等式
①lga（a+b）＜lga（a+） ②lga（a+b）＞lga（a+）
③ba+b＜④ba+b＞，其中成立的是（ ）
A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④
14．若2＜x＜3，P＝（）x，Q＝lg2x，R＝，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A．Q＜P＜RB．Q＜R＜PC．P＜R＜QD．P＜Q＜R
15．设函数y＝f（x）的图象与y＝lg2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣1）＝2，则a＝（ ）
A．3B．1C．2D．4
16．已知函数f（x）＝lnx，若f（x﹣1）＜1，则实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，e+1）B．（0，+∞）C．（1，e+1）D．（e+1，+∞）
17．已知x1，x2，x3分别为方程2x＝x，（）x＝lg2x，（）x＝x的根，则x1，x2，x3的大小关系为（ ）
A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x3＜x1＜x2D．x3＜x2＜x1
18．已知a＝0.63.1，b＝4.10.6，c＝lg0.64.1，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b
19．设实数a，b，c分别满足alg2a＝1，blg3b＝1，2c3+c＝2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b
20．已知奇函数f（x）在R上是增函数，设a＝30.3•f（30.3），b＝（lgπ3）•f（lgπ3），c＝（lg3）•f（lg3），则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
21．已知a＞1，方程与ln2x+x﹣a＝0的根分别为x1，x2，则的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．D．
22．对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（lg3π），c＝f（﹣）则a，b，c大小关系是（ ）
A．b＞a＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a
二．解答题（共18小题）
23．计算下列各式：（1）
（2）
24．（1）求值：lg2lg50+lg5lg20﹣lg100lg5lg2；
（2）已知lg53＝a，lg54＝b，用a，b表示lg2512．
计算：lg2﹣lg4﹣lg25﹣2（）．
26．已知函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）lgax是对数函数．
（1）若函数g（x）＝lga（x+1）+lga（3﹣x），讨论g（x）的单调性；
（2）若x∈[，2]，不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，求实数m的取值范围．
27．已知函数f（x）＝lga（1﹣ax）（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）若a＞1，解不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．
28．已知函数f（x）＝lgax（a＞1），若b＞a，且f（b）+＝，ab＝ba．
（1）求a与b的值；
（2）当x∈[0，1]时，函数g（x）＝m2x2﹣2mx+1的图象与h（x）＝f（x+1）+m的图象仅有一个交点，求正实数m的取值范围．
29．设为奇函数，a为常数．
（1）确定a的值
（2）求证：f（x）是（1，+∞）上的增函数
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m取值范围．
30．已知对数函数f（x）＝lgax（a＞0，a≠1）的图象经过的（9，2）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．
求函数f（x）＝（x2﹣3）的单调区间．
32．已知函数f（x）＝lg2x
（1）解关于x的不等式f（x+1）﹣f（x）＞1；
（2）设函数g（x）＝f（2x+1）+kx，若g（x）的图象关于y轴对称，求实数k的值．
33．若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）有“漂移点”．
（1）用零点存在定理证明：函数f（x）＝x2+2x在[0，1]上有“漂移点”；
（2）若函数g（x）＝lg（）在（0，+∞）上有“漂移点”，求实数a的取值范围．
34．已知函数
（1）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在（﹣∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．
35．已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
36．已知函数f（x）＝l（3﹣2x﹣x2）．
（1）求该函数的定义域；
（2）求该函数的单调区间及值域．
37．已知函数f（x）＝lga（1+x）﹣lga（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）写出函数f（x）的定义域，判断f（x）奇偶性，并证明；
（2）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
38．已知函数f（x）＝lga（1﹣x）+lga（x+3）（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若函数 f（x）有最小值为﹣2，求a的值．
39．已知函数y＝lg2（4x+1）﹣kx是偶函数，g（x）＝lg2（a•2x﹣a）（其中a＞0）．
（Ⅰ）求g（x）的定义域；
（Ⅱ）求k的值；
（Ⅲ）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．
40．已知函数f（x）＝lga（x+1），g（x）＝lga（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．设F（x）＝f（x）+g（x），G（x）＝f（x）﹣g（x），解决下列问题：
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）证明F（x）为偶函数；并求F（x）的值域；
（3）证明G（x）为奇函数；并判断函数G（x）的单调性．
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．【分析】由xlg34＝1，得4x＝3，由此能求出4x+4﹣x的值．
【解答】解：∵xlg34＝1，
∴4x＝3，
∴4x+4﹣x＝3+＝．
故选：D．
【点评】本题考查指数式求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．【分析】由f（x）＝lgx是（0，+∞）上的增函数，＞＞，能求出结果．
【解答】解：∵f（x）＝lgx是（0，+∞）上的增函数，
A＝f（），B＝f（），C＝f（），
＞＞，
∴B＜A＜C．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵，
∴a＝lg0.8（lg3π）＜lg0.81＝0，
＝lg0.8（lg316）＜lg0.8（lg3π）＜lg0.81＝0，
c＝＞＝lg0.81＝0．
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：a＝lg23＞lg22＝1，
0＝lgπ1＜b＝lgπ3＜lgππ＝1，
c＝lgb3＜lgb1＝0，
∴c＜b＜a．
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．【分析】利用对数运算性质即可得出．
【解答】解：f（1）＝lg24+lg22＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．【分析】由已知可得a＝lnx∈（﹣1，0），然后利用幂函数的性质得答案．
【解答】解：∵，
∴a＝lnx∈（﹣1，0），
则b＝2lnx＜lnx＝a，c＝ln3x＞lnx＝a．
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数函数的单调性，是基础题．
7．【分析】根据对数的公式化简即可比较大小．
【解答】解：a＝＝lgπe，
∴0＜a＜1．
b＝（）2＝（lgπe）2
∴b＜a．
c＝ln3＞lne＝1，即e＞1．
∴b＜a＜c．
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．
8．【分析】把a，b，c都化为以e为底数的对数，再由对数函数的单调性比较大小．
【解答】解：∵＝＝，＝，＝，
而e3＞9＞8，
∴a＜b＜c．
故选：C．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数式的单调性，是基础题．
9．【分析】先求出函数f（x）的定义为（1，2]，再由，解出x的取值范围，即为函数的定义域．
【解答】解：由，解得1＜x≤2，所以，函数y＝f（x）的定义域为（1，2]，
对于函数，则有，解得2＜x≤4，
因此，函数的定义域为（2，4]，
故选：B．
【点评】本题考查函数定义域的求解，问题的关键在于理解中间变量的取值范围一致，属于基础题．
10．【分析】作图比较a与b的大小，再由c＜1得答案．
【解答】解：在同一坐标系中，
作出y＝，y＝lg2x，y＝lg3x的图象，
由图象得b＞a＞1．
又c＝（）π＜，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查指数函数函数与对数函数的性质，是基础题．
11．【分析】由题意知函数y＝f（x）与y＝2x﹣a互为反函数，求得y＝2x﹣a的反函数，可得f（x）的解析式，再根据f（2）+f（4）＝1，求出a的值．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x﹣a的图象关于直线y＝x对称，
故函数y＝f（x）与y＝2x﹣a互为反函数．
由y＝2x﹣a，可得x＝a+lg2y，故y＝2x﹣a的反函数为y＝f（x）＝a+lg2x，
故f（2）+f（4）＝a+lg22+a+lg24＝2a+3＝1，∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查反函数的定义和性质，属于基础题．
12．【分析】根据方程的根以及根与系数的关系，求得lnα+lnβ和lnα•lnβ的值，再利用换底公式计算lgαβ+lgβα的值．
【解答】解：ln2x﹣lnx﹣2＝0的两根是α、β，
∴lnα和lnβ是方程t2﹣t﹣2＝0的两个根，
则lnα+lnβ＝1，lnα•lnβ＝﹣2；
∴lgαβ+lgβα＝+
＝
＝
＝
＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了方程的根以及根与系数的关系应用问题，也考查了换底公式应用问题，是基础题．
13．【分析】由0＜a＜1，0＜b＜1，得到b＜，从而lga（a+b）＞lga（a+），ba+b＞，由此能求出结果．
【解答】解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，
∴b＜，
在①中，lga（a+b）＞lga（a+），故①错误；
在②中，lga（a+b）＞lga（a+），故②正确；
在③中，ba+b＞，故③错误；
在④中，ba+b＞，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查两个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵2＜x＜3，
∴P＝（）x∈（），
Q＝lg2x∈（1，lg23），
R＝∈（2，），
∴P，Q，R的大小关系是P＜Q＜R．
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．【分析】设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y＝lg2（x+a），得f（x）＝﹣2﹣x+a，由此利用f（﹣2）+f（﹣1）＝2，能求出a的值．
【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝lg2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，
设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），
把（﹣y，﹣x）代入y＝lg2（x+a），得﹣x＝lg2（﹣y+a），
∴f（x）＝﹣2﹣x+a，
∵f（﹣2）+f（﹣1）＝2，
∴﹣22+a﹣2+a＝2，
解得a＝4．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．【分析】推导出ln（x﹣1）＜1，从而0＜x﹣1＜e，由此能求出实数x的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx，
f（x﹣1）＜1，
∴ln（x﹣1）＜1，∴0＜x﹣1＜e，
解得1＜x＜e+1，
∴实数x的取值范围是（1，e+1）．
故选：C．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17．【分析】在同一直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝，y＝lg2x和y＝x的图象，根据函数与方程的关系得出x1，x2，x3的大小关系．
【解答】解：在同一直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝，y＝lg2x和y＝x的图象，
如图所示；
由函数y＝2x与y＝x图象的交点横坐标为x1，
函数y＝与y＝lg2x图象的交点横坐标为x2，
函数y＝与y＝x图象的交点横坐标为x3，
知x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
18．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵0＜a＝0.63.1＜0.60＝1，
b＝4.10.6＞4.10＝1，
c＝lg0.64.1＜lg0.61＝0，
∴a，b，c的大小关系为b＞a＞c．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19．【分析】令f（x）＝2x3+x﹣2，则f（x）＝2x3+x﹣2在R上单调递增，且f（0）•f（1）＝﹣2×1＝﹣2＜0，即c∈（0，1），在同一坐标系中，作出y＝，y＝lg2x，y＝lg3x的图象，由图象能比较a，b，c的大小关系．
【解答】解：令f（x）＝2x3+x﹣2，
则f（x）＝2x3+x﹣2在R上单调递增，
且f（0）•f（1）＝﹣2×1＝﹣2＜0，
即c∈（0，1），
在同一坐标系中，
作出y＝，y＝lg2x，y＝lg3x的图象，
由图象得b＞a＞1，即b＞a＞c．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查函数性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
20．【分析】利用奇函数性质、对数函数、指数函数的性质直接求解．
【解答】解：∵奇函数f（x）在R上是增函数，
∴F（x）＝xf（x）在R上是增函数，
设a＝30.3•f（30.3），b＝（lgπ3）•f（lgπ3），c＝（lg3）•f（lg3），
，
0＜lgπ1＜lgπ3＜1＝lgππ，＝﹣2．
c＝（lg3）•f（lg3）＝﹣2f（﹣2）＝2f（2）．
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
21．【分析】把x1，x2看作函数y＝与y＝﹣x+a图象交点的横坐标及函数y＝ln2x与y＝﹣x+a图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：由，得，
由ln2x+x﹣a＝0，得ln2x＝﹣x+a．
则x1 是函数y＝与y＝﹣x+a图象交点的横坐标，
x2是函数y＝ln2x与y＝﹣x+a图象交点的横坐标．
如图：
则x1+x2＝a，
∴＝，
又a＞1，
∴＞1．
则的取值范围为（1，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查互为反函数的两个函数图象间的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
22．【分析】由f（2﹣x）＝﹣f（x）判断函数f（x）关于（1，0）点对称，根据x≥1时f（x）＝lnx是单调增函数，判断f（x）在定义域R上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．
【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）关于（1，0）点对称，
将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），
此时函数f（x）关于原点对称，
则函数y＝f（x+1）是奇函数；
当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，
∴f（x）在定义域R上是单调增函数；
由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜lg3π，
∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（lg3π），
∴b＞a＞c．
故选：A．
【点评】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．
二．解答题（共18小题）
23．【分析】（1）利用指数运算性质即可得出．
（2）利用对数运算性质即可得出．
【解答】解：（1）原式＝+10﹣2﹣4×＝+10﹣6﹣3＝．
（2）原式＝＝
＝＝．
【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
24．【分析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解．
（2）mh lg53＝a，lg54＝b，能用a，b表示lg2512．
【解答】解：（1）lg2lg50+lg5lg20﹣lg100lg5lg2
＝lg2（lg25×2）+lg5lg（4×5）﹣2lg5lg2
＝lg2（2lg5+lg2）+lg5（2lg2+lg5）﹣2lg5lg2
＝2lg2lg5+（lg2）2+2lg2lg5+（lg5）2﹣2lg5lg2
＝（lg2+lg5）2＝（lg10）2＝1．
（2）∵lg53＝a，lg54＝b，
∴．
【点评】本题考查对数式、指数式的化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
25．【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．
【解答】解：原式＝﹣lg（4×25）+2﹣2×
＝﹣2+2﹣2×
＝﹣1．
【点评】本题考查了对数与指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
26．【分析】（1）先求出a的值，根据根据复合函数的单调性即可求出g（x）的单调区间，
（2）x∈[，2]，不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，转化为求出g（x）的最小值即可．
【解答】解：（1）由题中可知：，解得：a＝3，
所以函数f（x）的解析式：f（x）＝lg3x
∵g（x）＝lg3（x+1）+lg3（3﹣x），
∴，
∴﹣1＜x＜3，
即g（x）的定义域为（﹣1，3），
由于g（x）＝lg3（x+1）+lg3（3﹣x）＝lg3（﹣x2+2x+3），
令u（x）＝﹣x2+2x+3，（﹣1＜x＜3）则：由对称轴x＝1可知，
u（x）在（﹣1，1）单调递增，在（1，3）单调递减；
又因为y＝lg3在（0，+∞）单调递增，
故g（x）单调递增区间（﹣1，1），单调递减区间为（1，3）．
（2）不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，
所以，
由（1）知，当时，函数g（x）单调递增区间，单调递减区间为[1，2]，
，
所以g（x）min＝1，
所以m﹣3≥1，m≥4，
所以实数m的取值范围[4，+∞）
【点评】本题考查了对数的函数的图象和性质和以及复合函数的单调性和函数恒成立的问题，属于中档题．
27．【分析】（Ⅰ）由a＞0，lga（1﹣ax）＜0＝lga1，能求出不等式f（x）＜0的解集．
（Ⅱ）根据t＝1﹣ax在区间（0，2）上为减函数，f（x）＝lgat，结合题意可得0＜a＜1，且t＞0．再由，能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝lga（1﹣ax）（a＞0且a≠1），a＞1，f（x）＜0，
∴a＞0，lga（1﹣ax）＜0＝lga1，
∴0＜1﹣ax＜1，∴﹣1＜﹣ax＜0，
解得0＜x＜．
∴a＞1时，不等式f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜}．
（Ⅱ）∵关于x的函数f（x）＝lga（1﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（0，2）上为增函数，
而t＝1﹣ax在区间（0，2）上为减函数，
∴0＜a＜1，且t＞0．
再由，解得0＜a≤，则实数a的取值范围为（0，]．
【点评】本题考查对数不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的运算法则、性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是中档题．
28．【分析】（1）代入x＝b，由二次方程的解法和指数、对数的运算性质，可得a，b；
（2）根据题意，由二次函数的性质分析可得：y＝（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①当0＜m≤1时，有≥1，②当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：（1）函数f（x）＝lgax（a＞1），
若b＞a，且f（b）+＝，ab＝ba，
可得lgab+lgba＝，
即为（lgab）2﹣lgab+1＝0，
解得lgab＝2或，
由于b＞a＞1，可得lgab＝2，
即b＝a2，
又＝a2a，即a2＝2a，
解得a＝2，b＝4；
（2）根据题意，由于m为正数，y＝g（x）＝（mx﹣1）2 为二次函数，
在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，
函数y＝lg2（x+1）+m为增函数，
分2种情况讨论：
①当0＜m≤1时，有≥1，
在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，
函数y＝lg2（x+1）+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②当m＞1时，有＜1，
y＝（mx﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，
函数y＝lg2（x+1）+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2＞1+m，
解可得m＜0或m＞3，
又由m为正数，则m＞3；
综合可得m的取值范围是（0，1]∪（3，+∞）．
【点评】本题考查函数的解析式和图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．
29．【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，
（2）根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；
（3）不等式f（x）＞（）x+m恒成立，等价于f（x）﹣（）x＞m恒成立，构造函数g（x）＝f（x）﹣（）x，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由＞0，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．
令（x﹣1）（1﹣ax）＝0，得x1＝1，x2＝，
∴＝﹣1，解得a＝﹣1．
（2）由（1）f（x）＝，
令u（x）＝＝1+，
设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），
则u（x1）﹣u（x2）＝，
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，
∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．
∴u（x）＝1+（x＞1）是减函数，
又y＝u为减函数，
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
（3）由题意知﹣（）x＞m，x∈（3，4）时恒成立，
令g（x）＝﹣（）x，x∈（3，4），
由（2）知在[3，4]上为增函数，
又﹣（）x在（3，4）上也是增函数，
故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）＝﹣，
∴m＜﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣）．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．
30．【分析】（Ⅰ）根据lga9＝2，求出a的值即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性问题转化为关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为lga9＝2，所以a2＝9，
因为a＞0，所以a＝3．
（Ⅱ）因为f（x+1）＜1，
也就是lg3（x+1）＜1，
所以lg3（x+1）＜lg33，
所以，解得：﹣1＜x＜2，
所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜2}．
【点评】本题考查了对数函数的性质以及函数的单调性问题，是一道基础题．
31．【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出函数的单调区间即可．
【解答】解：要使函数有意义，当且仅当u＝x2﹣3＞0，
即x＞或x＜﹣．
又x∈（，+∞）时，u是x的增函数；
x∈（﹣∞，﹣）时，u是x的减函数．
而u＞0时，y＝lgu是减函数，
故函数y＝lg（x2﹣3）的单减区间是（，+∞），单增区间是（﹣∞，﹣）．
【点评】本题考查了复合函数的单调性问题，考查对数函数以及二次函数的性质，是一道基础题．
32．【分析】（1）根据对数的运算性质得到关于x的不等式，解出即可；
（2）求出g（x）的解析式，根据对数的运算得到关于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：（1）因为f（x+1）﹣f（x）＞1，
所以lg2（x+1）﹣lg2x＞1，
即：，所以，
由题意，x＞0，解得0＜x＜1，
所以解集为{x|0＜x＜1}．（5分）
（2）g（x）＝f（2x+1）+kx＝，
由题意，g（x）是偶函数，
所以∀x∈R，有f（﹣x）＝f（x），
即：成立，
所以，
即：，
所以，
所以﹣x＝2kx，（2k+1）x＝0，
所以．（12分）
【点评】本题考查了对数的运算性质以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．
33．【分析】（1）令h（x）＝f（x+1）﹣f（x）﹣f（1）＝2（2x﹣1+x﹣1），得h（0）h（1）＜0，从而函数f（x）＝x2+2x在（0，1）上有“飘移点”．
（2）若f（x）＝lg（）在（0，+∞）上有飘移点x0，由题意知a＞0，推导出（2﹣a）﹣2ax0+2﹣2a＝0，从而关于x的方程g（x）＝（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a在（0，+∞）上应有实根x0，根据a＝2，0＜a＜2，a＞2进行分类讨论，能求出a的取值范围．
【解答】（本题12分）
解：（1）令h（x）＝f（x+1）﹣f（x）﹣f（1）＝2（2x﹣1+x﹣1），
又h（0）＝﹣1，h（1）＝2，∴h（0）h（1）＜0，
∴h（x）＝0在（0，1）上至少有一实根x0，
故函数f（x）＝x2+2x在（0，1）上有“飘移点”．
（2）若f（x）＝lg（）在（0，+∞）上有飘移点x0，由题意知a＞0，
即有lg＝lg（）+lg成立，即，
整理得（2﹣a）﹣2ax0+2﹣2a＝0，
从而关于x的方程g（x）＝（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a在（0，+∞）上应有实根x0，
当a＝2时，方程的根为，不符合题意，
当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴，
可知，只需△＝4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，
∴，即有，
当a＞2时，由于函数g（x）的对称轴，
只需g（0）＞0即2﹣2a＞0，所以a＜1，无解．
综上，a的取值范围是[3﹣，2）．
【点评】本题考查函数是否有“飘移点”的判断与求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质、运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．
34．【分析】（1）f（x）的值域为R，也可以说u（x）＝x2﹣2ax+3取遍一切正数，问题得以解决．
（2）利用复合函数单调性，可得u＝x2﹣2ax+3在（﹣∞，1]内递减且恒正，进而得到答案．
【解答】解：令u＝x2﹣2ax+3，．
（1）f（x）的值域为R，
⇔u＝x2﹣2ax+3能取（0，+∞）的一切值，
⇔（0，+∞）⊆u的值域，
∴△＝4a2﹣12≥0，
a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
（2）f（x）在（﹣∞，1]内为增函数
⇔u＝x2﹣2ax+3在（﹣∞，1]内递减且恒正，
∴．
【点评】本题考察了对数函数的性质，二次函数图象性质，不等式问题，属于综合问题，关键理解转化问题．
35．【分析】（1）利用对数函数的性质能求出函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域；推导出f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），由此得到f（x）是偶函数．
（2）由﹣2＜x＜2，得f（x）＝lg（4﹣x2），从而函数g（x）＝﹣x2+3x+4，由此能求出函数g（x）的值域．
（3）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．
∵g（x）＝10f（x）+3x，
∴函数g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max＝g（）＝，g（x）min→g（﹣2）＝﹣6，
∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查对数函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
36．【分析】（1）由3﹣2x﹣x2＞0，能求出f（x）的定义域．
（2）令u＝3﹣2x﹣x2＝﹣（x+1）2+4，则u在（﹣3，﹣1]上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减．f（u）＝lu在（0，+∞）上单调递减，由此能求出该函数的单调区间及值域．
【解答】解：（1）由3﹣2x﹣x2＞0得x2+2x﹣3＜0，
∴（x+3）（x﹣1）＜0，∴﹣3＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（﹣3，1）．
（2）令u＝3﹣2x﹣x2＝﹣（x+1）2+4，则u在（﹣3，﹣1]上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减．
又f（u）＝lu在（0，+∞）上单调递减，
故f（x）在（﹣3，﹣1]上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增．
∵u≤4，∴lu≥l4＝﹣2，
∴f（x）的值域为[﹣2，+∞）．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查函数的单调区间、值域的求法，考查对数函数的性质、值域等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
37．【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断即可；
（2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）由题设可得，解得﹣1＜x＜1，
故函数f（x）定义域为（﹣1，1）
从而：f（﹣x）＝lga[1+（﹣x）]﹣lga[1﹣（﹣x）]＝﹣[lga（1+x）﹣lga（1﹣x）]＝﹣f（x）
故f（x）为奇函数．
（2）由题设可得lga（1+x）﹣lga（1﹣x）＞0，即：lga（1+x）＞lga（1﹣x）
∵0＜a＜1，∴y＝lgax为（0，∞）上的减函数
∴0＜1+x＜1﹣x，解得：﹣1＜x＜0
故不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，奇偶性问题，考查解不等式，是一道中档题．
38．【分析】（1）由对数函数的性质，得函数的定义域{x|﹣3＜x＜1}，再由f（x）＝lga（1﹣x）（x+3），能求出函数f（x）的定义域和值域．
（2）由题设知：当0＜a＜1时，函数有最小值，由此能求a的值．
【解答】解：（1）由，得﹣3＜x＜1，
∴函数的定义域{x|﹣3＜x＜1}，
f（x）＝lga（1﹣x）（x+3），
设t＝（1﹣x）（x+3）＝4﹣（x+1）2，
∴t≤4，又t＞0，
则0＜t≤4．
当a＞1时，y≤lga4，值域为{y|y≤lga4}．
当0＜a＜1时，y≥lga4，值域为{y|y≥lga4}．
（2）由题设及（1）知：
当0＜a＜1时，函数有最小值，
∴lga4＝﹣2，
解得a＝．
【点评】本题考查对数函数的定义域、值域的求法和当函数值最小时对应的参数a，解题时要认真审题，仔细解答．
39．【分析】（Ⅰ）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
（Ⅱ）直接根据函数的奇偶性列式求出k的值；
（Ⅲ）运用函数与方程思想解题，问题转化为关于t的方程（a﹣1）t2﹣at﹣1＝0在（，+∞）上只有一解．
【解答】解：（Ⅰ）由a•2x﹣a＞0得：2x﹣＞0，
解得：x＞lg2，
故函数的定义域是（lg2，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）＝lg2（4x+1）﹣kx （k∈R）是偶函数，
∴f（﹣x）＝lg2（4﹣x+1）+kx＝f（x）对任意x∈R恒成立，
lg2（4x+1）﹣2x+kx＝lg2（4x+1）﹣kx恒成立，
则2（k﹣1）x＝0恒成立，因此，k＝1；
（Ⅲ）由于a＞0，所以g（x）＝lg2（a•2x﹣a）定义域为（lg2，+∞），也就是满足2x＞，
∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程lg2（4x+1）﹣x＝lg2（a•2x﹣a）在（lg2，+∞）上只有一解
即：方程＝a•2x﹣a在（lg2，+∞）上只有一解，
令2x＝t，则t＞，
因而问题等价为：关于t的方程（a﹣1）t2﹣at﹣1＝0（*）在（，+∞）上只有一解，
①当a＝1时，解得t＝﹣∉（，+∞），不合题意；
②当0＜a＜1时，记h（t）＝（a﹣1）t2﹣at﹣1，
其图象的对称轴t＝＜0，
∴函数f（2m﹣mcsθ）+f（﹣1﹣sin2θ）＜f（0）在（0，+∞）上递减，而h（0）＝﹣1，
∴方程（*）在（，+∞）无解；
③当a＞1时，记h（t）＝（a﹣1）t2﹣at﹣1，
其图象的对称轴t＝＞0，h（0）＝﹣1，
所以，只需h（）＜0，即（a﹣1）﹣a﹣1＜0，此恒成立，
∴此时a的范围为a＞1，
综上所述，所求a的取值范围为a＞1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，运用对数函数的单调性解不等式，以及函数图象交点的确定，属于中档题．
40．【分析】（1）求出F（x）的解析式，根据对数函数的性质求出函数F（x）的定义域即可；
（2）根据偶函数的定义证明即可，根据复合函数的单调性求出F（x）的值域即可；
（3）根据奇函数的定义证明即可，求出G（x）的导数，从而判断G（x）的单调性．
【解答】解：（1）F（x）＝f（x）+g（x）＝lga（x+1）+lga（1﹣x），
由对数函数的定义得：，解得：﹣1＜x＜1，
故F（x）的定义域是（﹣1，1）；
（2）证明：F（x）＝f（x）+g（x）＝lga（x+1）+lga（1﹣x），
F（﹣x）＝lga（﹣x+1）+lga（1+x）＝F（x），
F（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，
故F（x）是偶函数；
x＝0时，F（0）＝0，
x＞0时，F（x）＝lga（﹣x2+1），
a＞1时，F（x）在（0，1）递减，x→1时，F（x）→﹣∞，
故x＞0时，F（x）∈（﹣∞，0），
根据函数F（x）是偶函数得：
x＜0时，F（x）∈（﹣∞，0），
故f（x）的值域是（﹣∞，0]；
（3）证明：G（x）＝f（x）﹣g（x）＝lga（x+1）﹣g（x）＝lga（1﹣x），
G（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，
G（﹣x）＝lga（﹣x+1）﹣lga（1+x）＝﹣G（x），
故函数G（x）在（﹣1，1）是奇函数；
G′（x）＝﹣＝，
a＞1时，G′（x）＜0，G（x）在（﹣1，1）递减，
0＜a＜1时，G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，1）递增．
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的值域问题，是一道中档题．
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