高中5.2 函数的基本性质课后测评

幂函数2（函数的奇偶性）

一、课前预习

1．几个常见幂函数的图像

2．幂函数的简单性质

（1）当>0时，幂函数的图像过点      ，      。在区间[0，+∞]上为增函数。

（2）当<0时，幂函数的图像过点      ，在区间（0，+∞]上为      。

3．奇偶函数的概念

（1）图像关于原点对称的函数叫做      ，在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值互为相反数，即      ；反之，满足f(－x)=－f(x)的函数y=f(x)一定是      。

（2）图像                 的函数叫做偶函数，在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即      ；反之，满足f(－x)= f(x)的函数y=f(x)一定是      。

（3）函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有      。

4．判断函数奇偶性的方法

（1）定义法：函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个自变量x，定义域内必须存在－x，即定义域关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不是奇函数也不是偶函数，若函数的定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于±。

（2）图像法：y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图像关于原点对称；

      y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图像关于y轴对称。

例1：函数是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，求实数m的值。

例2：判断下列函数的奇偶性

（1）     （2）  

（3）  （4）

例3：已知函数，当x,y∈R时，恒有求证：是奇函数。

变式训练：设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

求证f（x）是偶函数．

例4：已知是定义在R上的奇函数，且当x>0时，求：时，的解析式。

例5：已知函数是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，判断在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断。

变式训练：已知函数

 （1）判断奇偶性；

 （2）指出该函数在（0，1）上的单调性并证明；

 （3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在上的增减性。

幂函数（函数的奇偶性）习题

1．下列函数中为幂函数的是（     ）

A．  B．  C．   D．

2．已知函数与的图像的交点坐标为（    ）

A．  B．   C．（0，0）   D．（1，1）

3．已知幂函数为偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，则该函数的解析式为（    ）

A．  B．  C．  D．

4．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（　 　）

　　A．奇函数　　　　B．偶函数　　　C．既奇又偶函数　　　　D．非奇非偶函数

5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（ 　　）

　　A．y＝x（x－2）　　　B．y ＝x（｜x｜－1）　C．y ＝｜x｜（x－2）　　D．y＝x（｜x｜－2）

6．函数是（　 　）

　　A．偶函数　　　B．奇函数　　　　C．非奇非偶函数　　　　D．既是奇函数又是偶函数

7．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在          

（－∞，0）上有（　   ）

　　A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　　C．最小值－1　　　　　　D．最大值－3

8．幂函数的图像过点（4，2），则f(8)的值等于        。

9．已知，且，则        。

10．已知函数为偶函数，其定义域为，则=      。

11．若为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又的解集为        。

12．函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）　．

13．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．

14．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．

15．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

16.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明

17．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，

试证f（x）是偶函数．

18．点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，问当x为何值时，有：

  （1）>；（2）=；（3）<。

19．已知函数是奇函数，且，求a，b，c。