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广东省2021-2022学年度人教版九年级数学上册第一月考模拟试卷（含解析）
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这是一份广东省2021-2022学年度人教版九年级数学上册第一月考模拟试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了如图，抛物线 L1等内容，欢迎下载使用。
广东省2021-2022学年度人教版九年级数学上册第一月考模拟试卷
一、 选择题（每小题3分，共30分）
1.用配方法将 2x2-4x-3=0 变形，结果是（ ）
A.2(x-1)2-4=0B.2(x-1)2-52=0
C.(x-1)2-52=0D.(x-1)2-5=0
2.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣ 14 B. k＜ 14 C. k＞﹣ 14 且k≠0 D. k＜ 14 且k≠0
3.关于二次函数 y=2(x-4)2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6
4.学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场).共进行了 28 场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有 x 个班级参加比赛.根据题意列出方程正确的是（ ）
A. x2=28 B. 12x(x-1)=28 C. 12x2=28 D. x(x-1)=28
5.在平面直角坐标系中，将二次函数 y=x2 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x+2)2-1 D. y=(x-2)2-1
6.若直角三角形的两边长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A. 6 B. 12 C. 12或 372 D. 6或 372
7.如图，抛物线 L1:y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴只有一个公共点A（1，0），与 y 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L2 ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9.抛物线 y=ax2+bx+c （a，b，c为常数）开口向下且过点 A(1,0) ， B(m,0) （ -20 ；② 2a+c<0 ；③ a(m+1)-b+c>0 ；④若方程 a(x-m)(x-1)-1=0 有两个不相等的实数根，则 4ac-b2<4a .其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.如图， AC 为矩形 ABCD 的对角线，已知 AD=3 ， CD=4 .点P沿折线 C-A-D 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 PE⊥BC 于点E，则 △CPE 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.一元二次方程 x2=3x 的解为________.
12.在函数 y=(x-1)2 中，当x＞1时，y随x的增大而 ________.（填“增大”或“减小”）
13.某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为________．
14.二次函数 y=2x2-4x 的顶点坐标为________．
15.若m，n是一元二次方程 x2+3x-1=0 的两个实数根，则 m3+m2n3m-1 的值为________.
16.如图，直线 y=kx+b 与抛物线 y=-x2+2x+3 交于点 A,B ，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式 -x2+2x+3>kx+b 的解集为________．
17.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2 的图象如图所示．已知A点坐标为 (1,1) ，过点A作 AA1//x 轴交抛物线于点 A1 ，过点 A1 作 A1A2//OA 交抛物线于点 A2 ，过点 A2 作 A2A3//x 轴交抛物线于点 A3 ，过点 A3 作 A3A4//OA 交抛物线于点 A4 …，依次进行下去，则点 A99 的坐标为________．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.解方程：
（1）2x2+3x=0 ；
（2）x2-8x-9=0
19.已知抛物线的顶点是（－2，3），且经过点（－1，4），求这条抛物线的函数表达式.
20.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程 (a2+b2)x2-2cx+1＝0 有两个相等的实数根.请你判断△ABC的形状.
22.国贸大厦销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，国贸决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么国贸平均每天可多售出2件，国贸若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
23.某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.已知 M=x2-x+1 .
（1）当 M=3 时，求x的值.
（2）若 M=3x2+1 ，求M的值.
（3）求证： M>0
25.如图，点 B ， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， OB ， OC 的长分别为 x2-8x+12=0 的两个根 (OC>OB) ，点 A 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OC=3OB ，连接 AC ．
（1）求过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式；
（2）点 P 从点 C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 CA 运动到点 A ，点 Q 从点 O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 OC 运动到点 C ，连接 PQ ，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动，求 S△CPQ 的最大值；
（3）M 是抛物线上一点，是否存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
.
答案解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：二次项系数化1得 x2-2x-32=0 ，
加一次项系数一半的平方得 x2-2x+1-1-32=0 ，
整理得 (x-1)2-52=0 .
故答案为：C.
【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0
4k2+1-4k-4k（k-2）＞0
4k2+1-4k-4k2+8k＞0
4k+1＞0
4k＞-1
k＞-14
∴k＞-14且k≠0
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵在二次函数 y=2(x-4)2+6 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为： 12x(x-1) 场，
根据题意列出方程得： 12x(x-1)=28 ，
故答案为：B.
【分析】由题意根据相等关系“12×参加比赛的班级数×每一个班级参加比赛的次数=总的比赛的次数”可列方程求解.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ y=x2 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 y=x2 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 y=(x+2)2+1 ，
故答案为：B
【分析】 先求出y=x2 的顶点坐标为（0，0），再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1），利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解方程 x2-7x+12=0 得 x1=3 ， x2=4
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 12×3×4=6 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 42-32=7 ，面积为 12×7×3=372 ；
则该直角三角形的面积是6或 372 ，
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解，然后分两种情况：①当3和4分别为直角三角形的直角边，直接利用三角形的面积公式求解即可；②当4为斜边，3为直角边，先利用勾股定理求出另一直角边，再求出面积即可.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM.
由题意可知，AM=OB，
∵ A(1,0),B(0,2)
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵ AM//OB ， AM=OB ，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴ S四边形ABOM=OB•OA=2×1=2 .
故答案为：B.
【分析】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM，利用A、B坐标及平移的性质，可得OA=1，OB=AM=2，AM//OB ，可证四边形ABOM为平行四边形，由抛物线的对称性，可得图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，由S四边形ABOM=OB•OA计算即得.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：观察一次函数图象可知 a<0，b>0 ，
∴二次函数 y=ax2+bx 开口向下，
对称轴 x=-b2a>0 ，
故答案为：D.
【分析】利用一次函数图象经过第一、二、四象限，可得到a，b的取值范围；由此可得到二次函数y=ax2+bx的图象.
9.【答案】 A
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线开口向下
∴a<0
把 A(1,0) ， B(m,0) 代入 y=ax2+bx+c 得
{a+b+c=0am2+bm+c=0
∴am2+bm=a+b
∴am2+bm-a-b=0
(m-1)(am+a+b)=0
∵-2
∴am=c,a(m+1)=-b
∴c>0
∴-1
∴-12
∴1>ba>0
∴a
② 2a+c=2a-a-b=a-b<0 ，故②正确；
③ a(m+1)-b+c=-2b+c=-2b-a-b=-3b-a>0 ，故③正确；；
④若方程 a(x-m)(x-1)-1=0 有两个不相等的实数根，
即 ax2-a(m+1)x+am-1=0
Δ=a2(m+1)2-4a(am-1)
=a2(m+1)2-4a2m+4a
=b2-4a2⋅-a-ba+4a
=b2+4a2+4ab+4a
=b2+4a(a+b)+4a
=b2-4ac+4a>0
∴4ac-b2<4a ，故④正确，即正确结论的个数是4，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的开口方向，可得a<0 ， 把 A(1,0) ， B(m,0) 代入 y=ax2+bx+c 得{a+b+c=0am2+bm+c=0 ， 结合已知可求出c>0 ， a0，2a+c=a-b<0 ， 据此判断①②；将am+a+b=0代入③得a(m+1)-b+c=-2b+c=-3b-a>0 ， 据此判断③； 由方程 a(x-m)(x-1)-1=0 有两个不相等的实数根 ，可得△＞0，先将方程化为一般式，由△＞0求出结论，然后判断④即可.
10.【答案】 D
【解析】【解答】解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， AD=3 ， CD=4 ，
∴AB=4,BC=3,AC=AD2+CD2=5,∠B=90° ，
∴AC+AD=8 ，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 P 在 CA 上，即 0≤x≤5 时，
在 Rt△ABC 中， sin∠ACB=ABAC=45,cos∠ACB=BCAC=35 ，
∵ 在 Rt△CPE 中， CP=x ， PE⊥BC ，
∴CE=CP⋅cos∠PCE=35x,PE=CP⋅sin∠PCE=45x ，
∴y=12CE⋅PE=625x2 ；
（2）如图，当点 P 在 AD 上，即 5
∵ 四边形 ABCD 是矩形， PE⊥BC ，
∴ 四边形 CEPD 是矩形，
∴PE=CD=4,CE=DP=AC+AD-(AC+AP)=8-x ，
∴y=12CE⋅PE=-2x+16 ，
综上， y 与 x 间的函数关系式为 y={625x2(0≤x≤5)-2x+16(5
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可求出AC+AD的长；再分情况讨论：设CP=x，当点 P 在 CA 上，即 0≤x≤5 时，利用锐角三角函数的定义求出sin∠ACB和cos∠ACB的值，再利用解直角三角形表示出CE，PE的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式；当点 P 在 AD 上，即 5
11.【答案】 x1=0，x2=3
【解析】【解答】 x2=3x
x2-3x=0
x(x-3)=0
解得：x1=0，x2=3.
【分析】对原方程因式分解可得x(x-3)=0，据此求解.
12.【答案】 增大
【解析】【解答】由题意可知: 函数 y=(x-1)2 ，开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为 x=1 ，
∴当 x>1 时，y随的增大而增大，
故答案为:增大.
【分析】由函数 y=(x-1)2 ，可知抛物线开口向上，对称轴为x=1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此填空即可.
13.【答案】 20%
【解析】【解答】根据题意，得 100（1+x）2=144，解方程得x1=0.2，x2=﹣2.2．x2=﹣2.2不符合题意，舍去．故答案为20%．
【分析】可根据二次增长公式a(1+x)2=b,列出以增长率为未知数的方程，求出增长率.
14.【答案】 （1，-2）
【解析】【解答】解： y=2x2-4x=2(x2-2x+1)-2=2(x-1)2-2 ，
∴顶点坐标为（1，−2），
故答案为：（1，−2）．
【分析】先求出y=2x2-4x=2(x2-2x+1)-2=2(x-1)2-2 ， 再求顶点坐标即可。
15.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2 ，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ m3+m2n3m-1=m2(m+n)-m2=-(m+n)=3 ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
16.【答案】0
∴ -x2+2x+3=0 ，
解得x=3或x=-1，
∴点B的坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴不等式 -x2+2x+3>kx+b 的解集为 0
17.【答案】 (-50,2500)
【解析】【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x ， A1（ - 1，1），
∵A1A2∥OA ，
∴直线A1A2为y=x+2，
解 {y=x+2y=x2 ，得 {x=-1y=1 或 {x=2y=4 ，
∴A2（2，4），
∴A3（ - 2，4），
∵A3A4∥OA ，
∴直线A3A4为y=x+6，
解 {y=x+6y=x2 ，得 {x=-2y=4 或 {x=3y=9 ，
∴A4（3，9），A5（ - 3，9）,
A6(4,16),A7(-4,16)
A8(4,16),A9(-4,16)…，
A2n(n+1,(n+1)2), A7(-n-1,(n+1)2)
∴点 A99 的坐标为(-50,2500)．
故答案为：(-50,2500)．
【分析】根据二次函数性质可得出A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程组求得A2的坐标，即可求出A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求出A5的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点 A99 的坐标。
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】 （1）解：∵ 2x2+3x=0
∴ x(2x+3)=0
∴ x1=0 ， x2=-32
（2）解：∵ x2-8x-9=0
∴ (x+1)(x-9)=0
∴ x1=-1 ， x2=9 .
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法求出方程的解.
（2）观察方程的特点：方程右边为0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法求出方程的解.
19.【答案】 解：∵抛物线的顶点是（－2，3），
∴抛物线解析式可设为 y=a(x+2)2+3 ，
把（－1，4）代入上式得
a(-1＋2)2＋3=4
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋2)2＋3
【解析】【分析】由题意可设抛物线的解析式为顶点式y=a(x+2)2+3，把点（-1，4）代入解析式可得关于a的方程，解方程可求解.
20.【答案】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得
x(25-2x+1)=80，
化简，得x2-13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米.
【解析】【分析】 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，则知平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，根据矩形的面积为80构建方程求解，再结合实际情况取值即可.
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.【答案】 解：∵方程 (a2+b2)x2-2cx+1＝0 有两个相等的实数根，
∴ Δ=(-2c)2-4(a2+b2)=4c2-4(a2+b2)=0 ，
整理，得 c2=a2+b2 ，
∴△ABC为直角三角形.
【解析】【分析】由方程 (a2+b2)x2-2cx+1＝0 有两个相等的实数根可得 Δ=4c2-4(a2+b2) =0，整理后得 c2=a2+b2 ，即可作出判断.
22.【答案】 解：设每件衬衫应降价x元，实际每天销量为（20+2x）件，每件利润（40-x）元，
(20+2x)(40-x)=1200
解得x=10或x=20
为了尽快减少库存，应保证销量更大，
所以x=20，每件衬衫应降价20元。
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用问题中的利润问题，先根据降价金额，表示出实际的销售量，然后利用关系式： 总利润=每件利润×件数，列方程求解，为了尽快减少库存，计算出的结果应该保证销量更大，所以利润相同的情况下要选择降价更多的方案。
23.【答案】 解：当销售单价上涨了x元时，销量是 (230-10x) 件，
∵每件文具售价不能高于40元，
∴ 0
整理得： y=-10x2+130x+2300(0
∴当 x=132 时， y 有最大值，最大值是 54452 ，
∵ x 是正整数，
∴ x 取6或7，
当 x=6 时， y=2720 ，
当 x=7 时， y=2720 ，
答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．
【解析】【分析】根据题意可知一件文具的利润为（30+x-20）元，月销售为（230-10x）件，然后根据月销售利润=一件文具的利润乘以数量列出函数关系式即可；将二次函数的一般式化为顶点式结合x的取值范围求解即可。
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.【答案】 （1）解：当 M=3 时，
x2-x+1=3 ，
即 x2-x-2=0 ，
4x1=2 ， x2=-1 ，
（2）解：若 M=3x2+1 ，
则 x2-x+1=3x2+1 ，
即 2x2+x=0 ，
解得 x1=0 ， x2=-12 ，
（3）证明： M=x2-x+1=(x-12)2+34 ，
∵(x-12)2≥0 ，
∴(x-12)2+34≥34 ，
∴M>0 .
【解析】【分析】（1）由M=3可得x2-x+1=3，求解即可；
（2）由题意可得：3x2+1=x2-x+1，即2x2+x=0，然后求解即可；
（3）对M进行配方可得：M=(x-12)2+34 ， 然后结合平方的非负性进行证明.
25.【答案】 （1）由 x2-8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ．
又∵ OC>OB ，∴点 B 的坐标为 (2,0) ，点 C 的坐标为 (0,6) ．
∵ OA=OC ，∴点 A 的坐标为 (-6,0) ．
设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c ，
将点 A ， B ， C 的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，
得 {36a-6b+c=04a+2b+c=0c=6 ，解得 {a=-12b=-2c=6 ．
∴过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式为 y=-12x2-2x+6 ．
（2）∵ OA=OC ，∴ ∠ACO=45° ．
由题意得 PC=2t ， CQ=6-t ，∴ |xP|=PC⋅sin45°=2t ．
∴ S△CPQ=12×CQ×|xP|=12×(6-t)×2t=-22(t2-6t) ．
∵ -22<0 ，∴当 t=3 时， S△CPQ 有最大值，最大值为 922 ．
（3）①如图，当点 M 在 AC 上方时，过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E ，
作 MF⊥y 轴于点 F ，连接 MC ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠ACO=45° ，∴ ∠OCM=60° ．
设点 M 的坐标为 (m,-12m2-2m+6)(-6
∴ CF=33MF=-33m ．∴ OF=OC-CF=6+33m ．
∵ ∠MEO=∠EOF=∠MFO=90° ，
∴四边形 MEOF 是矩形．∴ ME=OF ．
即 -12m2-2m+6=6+33m ，解得 m1=0 （舍去）， m2=-4-233 ．
∴ ME=6+33m=16-433 ．
∴点 M 的坐标为 [-4-233,16-433] ．
②如图，当点 M 在 AC 下方时，过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H ，
设 MC 与 x 轴交于点 G ，连接 MC ．
设点 M 的坐标为 (n,-12n2-2n+6)(n<-6) ，
则 OH=-n ， MH=12n2+2n-6 ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠CAO=45° ，
∴ ∠CGO=∠HGM=∠CAG+∠ACM=60° ．
在 Rt△CGO 中，∵ OC=6 ，∴ OG=OCtan∠CGO=23 ．
∴ GH=OH-OG=-n-23 ．
在 Rt△MGH 中， MH=GH⋅tan∠HGM=3GH ，
∴ 12n2+2n-6=-3n-6 ，
解得 n1=0 （舍去）， n2=-4-23 ．
∴ GH=-n-23=4 ， MH=3GH=43 ．
∴点 M 的坐标为 (-4-23,-43) ．
综上所述，存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ，
且点 M 的坐标为 [-4-233,16-433] 或 (-4-23,-43) ．
【解析】【分析】（1）由 x2-8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ． 得到点B、C的坐标，再由图象的旋转得到A、D的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（2）由S△CPQ=12CQ×xP=12×2t（6-t）=-22（t2-6t），即可求解；
（3）分AD时正方形的对角线、AD时正方形的边两种情况，利用三角形全等即可求解。
广东省2021-2022学年度人教版九年级数学上册第一月考模拟试卷
一、 选择题（每小题3分，共30分）
1.用配方法将 2x2-4x-3=0 变形，结果是（ ）
A.2(x-1)2-4=0B.2(x-1)2-52=0
C.(x-1)2-52=0D.(x-1)2-5=0
2.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣ 14 B. k＜ 14 C. k＞﹣ 14 且k≠0 D. k＜ 14 且k≠0
3.关于二次函数 y=2(x-4)2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6
4.学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场).共进行了 28 场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有 x 个班级参加比赛.根据题意列出方程正确的是（ ）
A. x2=28 B. 12x(x-1)=28 C. 12x2=28 D. x(x-1)=28
5.在平面直角坐标系中，将二次函数 y=x2 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x+2)2-1 D. y=(x-2)2-1
6.若直角三角形的两边长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A. 6 B. 12 C. 12或 372 D. 6或 372
7.如图，抛物线 L1:y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴只有一个公共点A（1，0），与 y 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L2 ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9.抛物线 y=ax2+bx+c （a，b，c为常数）开口向下且过点 A(1,0) ， B(m,0) （ -2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.如图， AC 为矩形 ABCD 的对角线，已知 AD=3 ， CD=4 .点P沿折线 C-A-D 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 PE⊥BC 于点E，则 △CPE 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.一元二次方程 x2=3x 的解为________.
12.在函数 y=(x-1)2 中，当x＞1时，y随x的增大而 ________.（填“增大”或“减小”）
13.某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为________．
14.二次函数 y=2x2-4x 的顶点坐标为________．
15.若m，n是一元二次方程 x2+3x-1=0 的两个实数根，则 m3+m2n3m-1 的值为________.
16.如图，直线 y=kx+b 与抛物线 y=-x2+2x+3 交于点 A,B ，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式 -x2+2x+3>kx+b 的解集为________．
17.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2 的图象如图所示．已知A点坐标为 (1,1) ，过点A作 AA1//x 轴交抛物线于点 A1 ，过点 A1 作 A1A2//OA 交抛物线于点 A2 ，过点 A2 作 A2A3//x 轴交抛物线于点 A3 ，过点 A3 作 A3A4//OA 交抛物线于点 A4 …，依次进行下去，则点 A99 的坐标为________．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.解方程：
（1）2x2+3x=0 ；
（2）x2-8x-9=0
19.已知抛物线的顶点是（－2，3），且经过点（－1，4），求这条抛物线的函数表达式.
20.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程 (a2+b2)x2-2cx+1＝0 有两个相等的实数根.请你判断△ABC的形状.
22.国贸大厦销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，国贸决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么国贸平均每天可多售出2件，国贸若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
23.某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.已知 M=x2-x+1 .
（1）当 M=3 时，求x的值.
（2）若 M=3x2+1 ，求M的值.
（3）求证： M>0
25.如图，点 B ， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， OB ， OC 的长分别为 x2-8x+12=0 的两个根 (OC>OB) ，点 A 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OC=3OB ，连接 AC ．
（1）求过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式；
（2）点 P 从点 C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 CA 运动到点 A ，点 Q 从点 O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 OC 运动到点 C ，连接 PQ ，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动，求 S△CPQ 的最大值；
（3）M 是抛物线上一点，是否存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
.
答案解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：二次项系数化1得 x2-2x-32=0 ，
加一次项系数一半的平方得 x2-2x+1-1-32=0 ，
整理得 (x-1)2-52=0 .
故答案为：C.
【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0
4k2+1-4k-4k（k-2）＞0
4k2+1-4k-4k2+8k＞0
4k+1＞0
4k＞-1
k＞-14
∴k＞-14且k≠0
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵在二次函数 y=2(x-4)2+6 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为： 12x(x-1) 场，
根据题意列出方程得： 12x(x-1)=28 ，
故答案为：B.
【分析】由题意根据相等关系“12×参加比赛的班级数×每一个班级参加比赛的次数=总的比赛的次数”可列方程求解.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ y=x2 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 y=x2 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 y=(x+2)2+1 ，
故答案为：B
【分析】 先求出y=x2 的顶点坐标为（0，0），再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1），利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解方程 x2-7x+12=0 得 x1=3 ， x2=4
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 12×3×4=6 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 42-32=7 ，面积为 12×7×3=372 ；
则该直角三角形的面积是6或 372 ，
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解，然后分两种情况：①当3和4分别为直角三角形的直角边，直接利用三角形的面积公式求解即可；②当4为斜边，3为直角边，先利用勾股定理求出另一直角边，再求出面积即可.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM.
由题意可知，AM=OB，
∵ A(1,0),B(0,2)
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵ AM//OB ， AM=OB ，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴ S四边形ABOM=OB•OA=2×1=2 .
故答案为：B.
【分析】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM，利用A、B坐标及平移的性质，可得OA=1，OB=AM=2，AM//OB ，可证四边形ABOM为平行四边形，由抛物线的对称性，可得图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，由S四边形ABOM=OB•OA计算即得.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：观察一次函数图象可知 a<0，b>0 ，
∴二次函数 y=ax2+bx 开口向下，
对称轴 x=-b2a>0 ，
故答案为：D.
【分析】利用一次函数图象经过第一、二、四象限，可得到a，b的取值范围；由此可得到二次函数y=ax2+bx的图象.
9.【答案】 A
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线开口向下
∴a<0
把 A(1,0) ， B(m,0) 代入 y=ax2+bx+c 得
{a+b+c=0am2+bm+c=0
∴am2+bm=a+b
∴am2+bm-a-b=0
(m-1)(am+a+b)=0
∵-2
∴am=c,a(m+1)=-b
∴c>0
∴-1
∴-12
∴1>ba>0
∴a
② 2a+c=2a-a-b=a-b<0 ，故②正确；
③ a(m+1)-b+c=-2b+c=-2b-a-b=-3b-a>0 ，故③正确；；
④若方程 a(x-m)(x-1)-1=0 有两个不相等的实数根，
即 ax2-a(m+1)x+am-1=0
Δ=a2(m+1)2-4a(am-1)
=a2(m+1)2-4a2m+4a
=b2-4a2⋅-a-ba+4a
=b2+4a2+4ab+4a
=b2+4a(a+b)+4a
=b2-4ac+4a>0
∴4ac-b2<4a ，故④正确，即正确结论的个数是4，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的开口方向，可得a<0 ， 把 A(1,0) ， B(m,0) 代入 y=ax2+bx+c 得{a+b+c=0am2+bm+c=0 ， 结合已知可求出c>0 ， a
10.【答案】 D
【解析】【解答】解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， AD=3 ， CD=4 ，
∴AB=4,BC=3,AC=AD2+CD2=5,∠B=90° ，
∴AC+AD=8 ，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 P 在 CA 上，即 0≤x≤5 时，
在 Rt△ABC 中， sin∠ACB=ABAC=45,cos∠ACB=BCAC=35 ，
∵ 在 Rt△CPE 中， CP=x ， PE⊥BC ，
∴CE=CP⋅cos∠PCE=35x,PE=CP⋅sin∠PCE=45x ，
∴y=12CE⋅PE=625x2 ；
（2）如图，当点 P 在 AD 上，即 5
∵ 四边形 ABCD 是矩形， PE⊥BC ，
∴ 四边形 CEPD 是矩形，
∴PE=CD=4,CE=DP=AC+AD-(AC+AP)=8-x ，
∴y=12CE⋅PE=-2x+16 ，
综上， y 与 x 间的函数关系式为 y={625x2(0≤x≤5)-2x+16(5
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可求出AC+AD的长；再分情况讨论：设CP=x，当点 P 在 CA 上，即 0≤x≤5 时，利用锐角三角函数的定义求出sin∠ACB和cos∠ACB的值，再利用解直角三角形表示出CE，PE的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式；当点 P 在 AD 上，即 5
11.【答案】 x1=0，x2=3
【解析】【解答】 x2=3x
x2-3x=0
x(x-3)=0
解得：x1=0，x2=3.
【分析】对原方程因式分解可得x(x-3)=0，据此求解.
12.【答案】 增大
【解析】【解答】由题意可知: 函数 y=(x-1)2 ，开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为 x=1 ，
∴当 x>1 时，y随的增大而增大，
故答案为:增大.
【分析】由函数 y=(x-1)2 ，可知抛物线开口向上，对称轴为x=1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此填空即可.
13.【答案】 20%
【解析】【解答】根据题意，得 100（1+x）2=144，解方程得x1=0.2，x2=﹣2.2．x2=﹣2.2不符合题意，舍去．故答案为20%．
【分析】可根据二次增长公式a(1+x)2=b,列出以增长率为未知数的方程，求出增长率.
14.【答案】 （1，-2）
【解析】【解答】解： y=2x2-4x=2(x2-2x+1)-2=2(x-1)2-2 ，
∴顶点坐标为（1，−2），
故答案为：（1，−2）．
【分析】先求出y=2x2-4x=2(x2-2x+1)-2=2(x-1)2-2 ， 再求顶点坐标即可。
15.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2 ，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ m3+m2n3m-1=m2(m+n)-m2=-(m+n)=3 ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
16.【答案】0
∴ -x2+2x+3=0 ，
解得x=3或x=-1，
∴点B的坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴不等式 -x2+2x+3>kx+b 的解集为 0
17.【答案】 (-50,2500)
【解析】【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x ， A1（ - 1，1），
∵A1A2∥OA ，
∴直线A1A2为y=x+2，
解 {y=x+2y=x2 ，得 {x=-1y=1 或 {x=2y=4 ，
∴A2（2，4），
∴A3（ - 2，4），
∵A3A4∥OA ，
∴直线A3A4为y=x+6，
解 {y=x+6y=x2 ，得 {x=-2y=4 或 {x=3y=9 ，
∴A4（3，9），A5（ - 3，9）,
A6(4,16),A7(-4,16)
A8(4,16),A9(-4,16)…，
A2n(n+1,(n+1)2), A7(-n-1,(n+1)2)
∴点 A99 的坐标为(-50,2500)．
故答案为：(-50,2500)．
【分析】根据二次函数性质可得出A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程组求得A2的坐标，即可求出A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求出A5的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点 A99 的坐标。
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】 （1）解：∵ 2x2+3x=0
∴ x(2x+3)=0
∴ x1=0 ， x2=-32
（2）解：∵ x2-8x-9=0
∴ (x+1)(x-9)=0
∴ x1=-1 ， x2=9 .
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法求出方程的解.
（2）观察方程的特点：方程右边为0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法求出方程的解.
19.【答案】 解：∵抛物线的顶点是（－2，3），
∴抛物线解析式可设为 y=a(x+2)2+3 ，
把（－1，4）代入上式得
a(-1＋2)2＋3=4
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋2)2＋3
【解析】【分析】由题意可设抛物线的解析式为顶点式y=a(x+2)2+3，把点（-1，4）代入解析式可得关于a的方程，解方程可求解.
20.【答案】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得
x(25-2x+1)=80，
化简，得x2-13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米.
【解析】【分析】 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，则知平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，根据矩形的面积为80构建方程求解，再结合实际情况取值即可.
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.【答案】 解：∵方程 (a2+b2)x2-2cx+1＝0 有两个相等的实数根，
∴ Δ=(-2c)2-4(a2+b2)=4c2-4(a2+b2)=0 ，
整理，得 c2=a2+b2 ，
∴△ABC为直角三角形.
【解析】【分析】由方程 (a2+b2)x2-2cx+1＝0 有两个相等的实数根可得 Δ=4c2-4(a2+b2) =0，整理后得 c2=a2+b2 ，即可作出判断.
22.【答案】 解：设每件衬衫应降价x元，实际每天销量为（20+2x）件，每件利润（40-x）元，
(20+2x)(40-x)=1200
解得x=10或x=20
为了尽快减少库存，应保证销量更大，
所以x=20，每件衬衫应降价20元。
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用问题中的利润问题，先根据降价金额，表示出实际的销售量，然后利用关系式： 总利润=每件利润×件数，列方程求解，为了尽快减少库存，计算出的结果应该保证销量更大，所以利润相同的情况下要选择降价更多的方案。
23.【答案】 解：当销售单价上涨了x元时，销量是 (230-10x) 件，
∵每件文具售价不能高于40元，
∴ 0
整理得： y=-10x2+130x+2300(0
∴当 x=132 时， y 有最大值，最大值是 54452 ，
∵ x 是正整数，
∴ x 取6或7，
当 x=6 时， y=2720 ，
当 x=7 时， y=2720 ，
答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．
【解析】【分析】根据题意可知一件文具的利润为（30+x-20）元，月销售为（230-10x）件，然后根据月销售利润=一件文具的利润乘以数量列出函数关系式即可；将二次函数的一般式化为顶点式结合x的取值范围求解即可。
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.【答案】 （1）解：当 M=3 时，
x2-x+1=3 ，
即 x2-x-2=0 ，
4x1=2 ， x2=-1 ，
（2）解：若 M=3x2+1 ，
则 x2-x+1=3x2+1 ，
即 2x2+x=0 ，
解得 x1=0 ， x2=-12 ，
（3）证明： M=x2-x+1=(x-12)2+34 ，
∵(x-12)2≥0 ，
∴(x-12)2+34≥34 ，
∴M>0 .
【解析】【分析】（1）由M=3可得x2-x+1=3，求解即可；
（2）由题意可得：3x2+1=x2-x+1，即2x2+x=0，然后求解即可；
（3）对M进行配方可得：M=(x-12)2+34 ， 然后结合平方的非负性进行证明.
25.【答案】 （1）由 x2-8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ．
又∵ OC>OB ，∴点 B 的坐标为 (2,0) ，点 C 的坐标为 (0,6) ．
∵ OA=OC ，∴点 A 的坐标为 (-6,0) ．
设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c ，
将点 A ， B ， C 的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，
得 {36a-6b+c=04a+2b+c=0c=6 ，解得 {a=-12b=-2c=6 ．
∴过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式为 y=-12x2-2x+6 ．
（2）∵ OA=OC ，∴ ∠ACO=45° ．
由题意得 PC=2t ， CQ=6-t ，∴ |xP|=PC⋅sin45°=2t ．
∴ S△CPQ=12×CQ×|xP|=12×(6-t)×2t=-22(t2-6t) ．
∵ -22<0 ，∴当 t=3 时， S△CPQ 有最大值，最大值为 922 ．
（3）①如图，当点 M 在 AC 上方时，过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E ，
作 MF⊥y 轴于点 F ，连接 MC ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠ACO=45° ，∴ ∠OCM=60° ．
设点 M 的坐标为 (m,-12m2-2m+6)(-6
∴ CF=33MF=-33m ．∴ OF=OC-CF=6+33m ．
∵ ∠MEO=∠EOF=∠MFO=90° ，
∴四边形 MEOF 是矩形．∴ ME=OF ．
即 -12m2-2m+6=6+33m ，解得 m1=0 （舍去）， m2=-4-233 ．
∴ ME=6+33m=16-433 ．
∴点 M 的坐标为 [-4-233,16-433] ．
②如图，当点 M 在 AC 下方时，过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H ，
设 MC 与 x 轴交于点 G ，连接 MC ．
设点 M 的坐标为 (n,-12n2-2n+6)(n<-6) ，
则 OH=-n ， MH=12n2+2n-6 ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠CAO=45° ，
∴ ∠CGO=∠HGM=∠CAG+∠ACM=60° ．
在 Rt△CGO 中，∵ OC=6 ，∴ OG=OCtan∠CGO=23 ．
∴ GH=OH-OG=-n-23 ．
在 Rt△MGH 中， MH=GH⋅tan∠HGM=3GH ，
∴ 12n2+2n-6=-3n-6 ，
解得 n1=0 （舍去）， n2=-4-23 ．
∴ GH=-n-23=4 ， MH=3GH=43 ．
∴点 M 的坐标为 (-4-23,-43) ．
综上所述，存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ，
且点 M 的坐标为 [-4-233,16-433] 或 (-4-23,-43) ．
【解析】【分析】（1）由 x2-8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ． 得到点B、C的坐标，再由图象的旋转得到A、D的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（2）由S△CPQ=12CQ×xP=12×2t（6-t）=-22（t2-6t），即可求解；
（3）分AD时正方形的对角线、AD时正方形的边两种情况，利用三角形全等即可求解。
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