广东省2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第一次月考模拟试卷（含解析）

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广东省2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第一次月考模拟试卷
一、 选择题（共10题；共30分）
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ）
A. 2x＝5             B. 1x2 ＋ 1x －5＝0             C. ax2＋bx＋c＝0             D. 5（x＋2）2＝3（x＋2）
2.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（   ）
A. 对角线相等                         B. 对角线垂直                         C. 邻边垂直                         D. 邻角互补
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=6，BD=8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则 BECE 的值为(    )

A. 512                                       B. 725                                       C. 718                                       D. 524
4.已知等腰 △ABC 的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程 12kx2-(k+3)x+6=0 的两根，则 △ABC 的周长为（   ）
A. 6.5                                        B. 7                                        C. 6.5或7                                        D. 8
5.已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（    ）
A. 4                                          B. 23                                          C. 2                                          D. 1
6.如图所示，边长为2的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45° 后得到正方形 AB'C'D' ，边 B'C' 与 CD 交于点 O ，则四边形 AB'OD 的周长（   ）

A. 22                                    B. 42                                    C. 2+22                                    D. 4
7.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2 ， 设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（   ）

A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600                              B. （30﹣x）（40﹣x）＝600   
C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600                              D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600
8.一个盒子中装有9颗蓝色幸运星，n颗红色幸运星，从中任意取出一颗红色幸运星的频率为0.25，则n为（   ）
A. 1                                           B. 3                                           C. 5                                           D. 7
9.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB ， CD交于点E、F ， 连接BF交AC于点M ， 连接DE ， BO ． 若 ∠COB=60° ， FO=FC ．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③ OC=FB ；④ AM=2BM ；⑤ S△BOM:S△AOE=3:2 ．其中正确结论的个数是（   ）

A. 5个                                       B. 4个                                       C. 3个                                       D. 2个
10..某口袋里装有红色、蓝色玻璃球共60个，它们除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验发现摸到红球的频率稳定在15%左右，则可估计口袋中红色玻璃球的个数为（   ）
A. 5                                          B. 9                                          C. 10                                          D. 12
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.对于任意实数a、b，定义一种运算： a⊗b=a2+b2-ab ，若 x⊗(x-1)=3 ，则x的值为________.
12.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过点 O 作 OE⊥BC 于点 E ，若 AC=6 ， BD=8 ，则 OE= ________．

13.关于x的方程 x2-2mx+m2-m=0 有两个实数根 α,β .且 1α+1β=1 .则 m= ________.
14.近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，设该市投入教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意则可以列出的方程是 ________．
15.现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是________．
16.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝ ________．

17.如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝18，AB＝CD＝24.点E为DC上的一个动点， △ADE与△A D'E关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为________.

三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.解下列方程：
（1）x2=3x；
（2）2x2-4x-1=0
19.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒种后△DPQ的面积为31cm2？

20.经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．

（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是________吨.

（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）

21.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14 ．

（1）求袋中黄球的个数；

（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．

22..阅读下面的例题：解方程 x2-|x|-2=0
解：当x≥0时，原方程化为x2 – x –2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）
当x＜0时，原方程化为x2 + x –2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2∴原方程的根是x1=2, x2= - 2
请参照例题解方程 x2-|x-1|-1=0
23.如图，四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点．连接 GC 并延长至F，使 CF=GC ，以 DC 、 CF 为邻边作 ▱DCFE ，连接 CE ．

（1）若四边形 DCFE 是菱形，判断四边形 CEDG 的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接 DF ，若 BC=3 ，求 DF 的长．
五、解答题（共2题；共20分）

24.如图， RtΔABC 中， ∠C=90° ， D 是 AB 上一点， DE⊥AC 于点 E ， F 是 AD 的中点， FG⊥BC 于点 G ，与 DE 交于点 H ，若 FG=AF ， AG 平分 ∠CAB ，连结 GE ， GD ．

（1）求证： ΔECG≌ΔGHD ；
（2）求证： AD=AC+EC ．
（3）若 ∠B=30° ，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由．
25.某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B ， C 重合），以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF ，连接 CF ．

（1）观察猜想
如图1，当点 D 在线段 BC 上时，
① BC 与 CF 的位置关系为：      ▲      ；
② BC ， DC ， CF 之间的数量关系为：     ▲     ；
请将结论直接写在横线上，并给予证明；
（2）数学思考
如图2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、原方程未知数的最高次数是1，故错误；
B、原方程为分式方程；故错误；
C、当a＝0时，即ax2＋bx＋c＝0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故错误；
D、符合一元二次方程的形式，故正确.
故答案为：D.
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数,由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形
∴CO=12AC=3，BO=12BD=4，AO⊥BO
∴BC=CO2+BO2=5
∵S菱形ABCD=12AC×BD=BC×AE
∴AE=12×6×85=245
在直角三角形ABE中，BE=AB2-AE2=75
∴CE=BC-CE=5-75=185
∴BECE的值为718
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质即可得到BC的长，继而由面积法求出AE的长度，即可根据勾股定理计算得到BE的长度，得到结论即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得：关于x的一元二次方程 12kx2-(k+3)x+6=0 有两个相等的实数根，
则其根的判别式 Δ=[-(k+3)]2-4⋅12k⋅6=0 ，
解得 k=3 ，
则方程为 32x2-6x+6=0 ，
整理得： 32(x-2)2=0 ，
解得 x1=x2=2 ，
因此，等腰 △ABC 的三边长分别为 3,2,2 ，
则 △ABC 的周长为 3+2+2=7 ，
故答案为：B.
【分析】先根据等腰三角形的两腰相等可得关于x的方程有两个相等的实数根，从而由一元二次方程根的判别式求出k的值，然后求出方程的根，最后根据三角形的周长公式即可得.
5.【答案】 C
【解析】【解答】如图，由题意得：菱形ABCD的周长为8， ∠ABC=120° ，

∴AB=AD=84=2,∠A=60° ，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB=2 ，
∵∠A<∠ABC ，
∴ 该菱形较短的对角线长为 BD=2 ，
故答案为：C．
【分析】先画出图形，再根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质即可得．
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接B′C，

∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∵AB=AB′=2，
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2 = 22 ，
∴B′C= 22-2
在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C= 22-2
在Rt△OB′C中，OC= 2(22-2) = 4-22 ，
∴OD=2-OC= 22-2 ，
∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD= 4+22-2+22-2 = 42
故答案为：B.
【分析】连接B′C，先得出B′在对角线AC上，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=22 ， 即得B′C= 22-2 ， 在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C= 22-2 ， 从而可得OC=2OB′=4-22 ， 继而得出OD=2-OC= 22-2 ，由于四边形AB′OD的周长是2AD+OB′+OD，据此计算即可.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝32.
故答案为：D.
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积=长×宽可得出关于x的一元二次方程.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意，得 n9+n =0.25，
解得n=3．
故答案为：B．
【分析】由于一个盒子中装有9颗蓝色幸运星，n颗红色幸运星，根据从中任意取出一颗红色幸运星的频率为0.25列出方程，解方程即可求解．
9.【答案】 C
【解析】【解答】连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∵FO=FC，BF=BF
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①符合题意，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，FC=AE，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵FO=OE=FC=AE，
∴∠AOE=∠FOM=30°，
∴∠BOF=90°，
∴BE=BF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴结论②符合题意；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵FO=OE=FC=AE，
∴∠AOE=∠FOM=30°，
∴∠BOF=90°，
∴FB＞OB，
∵OB=OC，
∴FB＞OC，
∴③不符合题意，
在直角三角形AMB中，
∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，
∴AB=2BM，
∴④不符合题意，
设ED与AC的交点为N，
设AE=OE=2x，
则NE=x，BE=4x，
∴AB=6x，
∴BM=3x，
∴ S△BOM:S△AOE=12OM⋅BM:12AO⋅NE
= OM⋅3x:2OM⋅x
=3:2，
结论⑤符合题意.
故答案为：C．

【分析】证明△OBF≌△CBF，可判断 ① 正确；利用菱形的定义，可判断 ② 正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论 ③  错误；根据30°角的性质，判断AB=2BM，判断 ④ 错误的；证AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断 ⑤ 是正确的。
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为60×15%=9个．
故答案为：B．
【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．
二、填空题
11.【答案】 -1或2
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： x⊗(x-1)=x2+(x-1)2-x(x-1)=3 ，
整理可得 x2-x-2=0 ，
解得 x1=-1 ， x2=2 ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得x⊗(x-1)=x2+(x-1)2-x(x-1)=3 ， 然后求出方程的解即可.
12.【答案】 2.4
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝ 12 AC＝3，OB＝ 12 BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝ OB2+OC2 ＝ 16+9 ＝5，
∵S△OBC＝ 12 ×OC×OB＝ 12 ×BC×OE，
∴OE＝ 3×45 ＝2.4，
故答案为：2.4．
【分析】由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，可求得BC的长，由面积法可求OE的长．
13.【答案】 3
【解析】【解答】解：由题意得： α+β=2m,αβ=m2-m ，
∵1α+1β=α+βαβ=1 ，
∴2mm2-m=1 ，
化成整式方程为 m2-3m=0 ，
解得 m=0 或 m=3 ，
经检验， m=0 是所列分式方程的增根， m=3 是所列分式方程的根，
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据1α+1β=1可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可.
14.【答案】2500（1+x)2=3600
【解析】【解答】解：依题意可得 2500（1+x)2=3600
故答案为： 2500（1+x)2=3600
【分析】找等量关系式，列出一元二次方程即可.
15.【答案】16
【解析】【解答】解：等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1、2、3、4表示，
列表如下：
 
1
2
3
4
1
---
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
---
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
---
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
---
所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种，
则 P两个都为中心对称图形=212=16 ．
故答案为： 16 ．

【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出其概率。
16.【答案】 10
【解析】【解答】解：连接BD交AC与点O，

在菱形ABCD中
∵ AC⊥BD，OC=OA=12AC=12，OD=OB=12BD ，
在 RT△DOC 中
OD=DC2-OC2=132-122=5 ，
∴ BD=10 ，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴ EF=12BD=5 ，
∵ AB//CD ，
∴ ∠BGF=∠CEF，∠GBF=∠ECF ，
又∵ CF=BF ，
∴ △BGF≅△CEF ，
∴ EF=GF=5 ，
∴ EG=10 ．
故答案为：10．
【分析】连接BD交AC与点O，证明四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG。
17.【答案】 18或9
【解析】【解答】解：①当∠CE D'＝90°时，如图1，

∵∠CE D'＝90°，
由轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝ 12 ×90°＝45°，
∵∠D＝90°
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
②当∠ED'C＝90°时，如图2，

由轴对称的性质得： ∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，
∴A、D'、C在同一直线上，
由勾股定理得，AC＝ AD2+CD2 ＝ 182+242 ＝30，
∴CD'＝30-18＝12，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD-DE=24−x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2 ，
即x2＋122＝（24 – x)2 ，
解得x＝9，
即DE＝9，
综上所述，DE的长为18或9.
故答案为：18或9.
【分析】本题分两种情况：①）当∠D'EC＝90°时，根据轴对称的性质求出∠AED＝45°，然后判断出△ADE是等腰直角三角形，从而求出DE＝AD；②当∠E D'C＝90°时，∠A D'E＝90°，判断出A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据轴对称的性质可得A D'＝AD，DE＝D'E，然后求出D'C，设DE＝D'E＝x，用（24- x）表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可.
三、计算题
18.【答案】 （1）解：x2=3x；
x2-3x=0
x(x-3)=0
x1=0，x2=3

（2）解：2x2-4x-1=0
△=(-4)2-4×2×(-1)=24
x= 4±264 = 2±62
x1= 2+62   x2= 2-62
【解析】【分析】（1）根据题意，利用因式分解的方法解方程得到答案即可；
（2）根据题意，利用求根公式得到答案即可。
四、解答题
19.【答案】 解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2 ， 则AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm，
S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ ，
=AB•BC- 12 AD•AP- 12 CD•CQ- 12 BP•BQ，
=6×12- 12 ×12x- 12 ×6（12-2x）- 12 （6-x）•2x，
=x2-6x+36=31，
解得：x1=1，x2=5.
答：运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2.
【解析】【分析】设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2 ， 则AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm，利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积为31cm2 ， 即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论
20.【答案】 （1）60
（2）解：设售价每吨为x元，根据题意列方程为：（x - 100）（45+260-x10×7.5）=9000，
化简得x2 - 420x + 44000=0，
解得x1=200，x2=220（舍去），
因此，将售价定为200元时销量最大。

【解析】【解答】（1）由题意可知月销售量为：45+[（260-240）÷10×7.5]=60(吨)
【分析】（1）根据题意可得每吨售价每下降10元时、月销售量就会增加7.5吨，再根据每吨售价为260元时、月销售量为45吨，据此列出式子求得当每吨售价是240元时的月销售量；
（2）根据（1）可得一元二次方程，解得x的值即可。
21.【答案】 （1）解：设袋中黄球的个数为x个，∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14 ，
∴1x+2+1=14 ，
解得：x=1，
∴袋中黄球的个数为1个；
（2）解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，
∴两次摸到不同颜色球的概率为：P=1012=56 ．
【解析】【分析】（1）首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14 ， 利用概率公式即可得方程：1x+2+1=14 ， 解此方程即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
22.【答案】 解：当x≥1时，原方程化为x2 – (x-1) -1=0，解得：x1=1,x2= 0（不合题意，舍去）
当x＜1时，原方程化为x2 +( x-1 )–1=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2
∴原方程的根是x1=1, x2= - 2
【解析】【分析】分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2 – (x-1) -1=0，解得：x1=1,x2= 0（不合题意，舍去）；
（2）当x＜1时，原方程化为x2 +( x-1 )–1=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2，所以原方程的根是x1=1, x2= - 2。
五、综合题
23.【答案】 （1）解：四边形 CEDG 是菱形，理由如下：
∵四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点，
∴ GB=GC=GD ，
∵ CF=GC ，
∴ GB=GC=GD=CF ，
∵四边形 DCFE 是菱形，
∴ CD=CF=DE ， DE//CG ，
∴ DE=GC ，
∴四边形 CEDG 是平行四边形，
∵ GD=GC ，
∴四边形 CEDG 是菱形

（2）解：∵ CD=CF ， GB=GD=GC=CF ，
∴ △CDG 是等边三角形，
∴ CD=BG ， GCD=∠DGC=60° ，
∴ ∠DCF=∠BGC=120° ，
∴ △BGC≌△DCF(SAS) ，
∴ DF=BC=3 ．

【解析】【分析】（1）证出GB=GC=GD=CF，由菱形的性质的CD=CF=DE，DE∥CG，则DE=GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，证明△BGC≌△DCF，即可得DF．

24.【答案】 （1）证明：∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FAG，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；

（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，

∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；

（3）解：四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE= 12 AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
【解析】【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小题也可以通过证明四边形ECGH为矩形得出结论）
 
（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；
（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE= 12 AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
 
25.【答案】 （1）解：①正方形 ADEF 中， AD=AF ，
∵∠BAC=∠DAF=90° ，
∴∠BAD=∠CAF ，
在 ΔDAB 与 ΔFAC 中，
{AD=AF ∠BAD=∠CAF AB=AC  ，
∴ΔDAB≅ΔFAC(SAS) ，
∴∠B=∠ACF ，
∴∠ACB+∠ACF=90° ，即 BC⊥CF ；
故答案为：垂直；
② ΔDAB≅ΔFAC ，
∴CF=BD ，
∵BC=BD+CD ，
∴BC=CF+CD ；
故答案为： BC=CF+CD ；

（2）解： CF⊥BC 成立； BC=CD+CF 不成立， CD=CF+BC ．理由如下：
∵ 正方形 ADEF 中， AD=AF ，
∵∠BAC=∠DAF=90° ，
∴∠BAD=∠CAF ，
在 ΔDAB 与 ΔFAC 中，
{AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC ，
∴ΔDAB≅ΔFAC(SAS) ，
∴∠ABD=∠ACF ，
∵∠BAC=90° ， AB=AC ，
∴∠ACB=∠ABC=45° ．
∴∠ABD=180°-45°=135° ，
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90° ，
∴CF⊥BC ．
∵CD=DB+BC ， DB=CF ，
∴CD=CF+BC ．
【解析】【分析】（1）①证明ΔDAB≅ΔFAC(SAS) ，可得∠B=∠ACF ， 从而可得∠ACB+∠ACF=∠ACB
+∠B=90°，据此即得结论；
②由ΔDAB≅ΔFAC可得CF=BD，从而可得BC=BD+CD=CF+CD.
（2） CF⊥BC 成立； BC=CD+CF 不成立， CD=CF+BC  ． 理由：证明ΔDAB≅ΔFAC(SAS) ，可得∠ABD=∠ACF ， DB=CF， 继而求出∠BCF=∠ACF-∠ACB=90°  ， CD=DB+BC=CF+BC.