中考数学压轴题冲刺提升专题：10 一次函数与反比例函数综合题（含解析）学案

这是一份中考数学压轴题冲刺提升专题：10 一次函数与反比例函数综合题（含解析）学案，共37页。学案主要包含了变式1-1，变式2-1，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
10一次函数与反比例函数综合题


【例1】如图，直线l：y=ax+b交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点B(0，-3)，交反比例函数y =于第一象限的点P，点P的横坐标为4.
（1）求反比例函数y =的解析式；
（2）过点P作直线l的垂线l1，交反比例函数y=的图象于点C，求△OPC的面积.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y=ax+b 交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点 B(0，-3)，
∴3a+b=0，b=－3，
解得：a=1，
即l1的解析式为：y=x－3，
当x=4时，y=1，即P（4,1），
将P点坐标代入y=得：k=4，
即反比函数的解析式为：y=；
（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E，D，

∵OA=OB=3，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵l⊥l1，
∴∠DPB=90°，
∴∠ODP=45°，
设直线l1的解析式为：y=－x+b，
将点P(4,1)代入得：b=5，
联立：y=－x+5，y=，解得：
x=1，y=4或x=4，y=1，
即C(1,4)，
∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE
=×5×5－×5×1－×5×1
=.
【变式1-1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=–x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵B（4,2），四边形OABC为矩形，
∴OA=BC=2，
在y=–x+3中，y=2时，x=2，
即M(2,2),
将M（2，2）代入得：k=4，
∴反比例函数的解析式为：.
（2）在中，当x=4时，y=1，
即CN=1，
∵S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON
=4×2－×2×2－×4×1
=4，
∴S△OPM=4，
即·OP·OA=4，
∵OA=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标为（4,0）或（－4,0）.
【例2】已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数y =（x＞0）的图象交于点P，PA⊥x 轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△DBP=27，.
（1）求点 D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出x取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数y =的值．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交，
∴令x=0，解得y=3，
∴D的坐标为（0，3）；
（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，∠DCO=∠ACP，∠DOC=∠CAP=90°，
∴Rt△COD∽Rt△CAP，
∴，OD=3，
∴AP=OB=6，
∴DB=OD+OB=9，
∵S△DBP=27，
即＝27，
∴BP=6，
∴P（6，-6），
把P坐标代入y=kx+3，得到k=，
则一次函数的解析式为：y＝x+3；
把P坐标代入反比例函数解析式得：m=－36，
则反比例解析式为：y＝−；
（3）联立y＝−，y＝x+3得：
x=－4，y=9或x=6，y=－6，
即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6），
∴当x＞6或－4＜x＜0时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数y=上（k＞0，x＞0），横坐标分别为和2，对角线 BC∥x 轴，菱形ABDC 的面积为 9．
（1）求 k 的值及直线 CD 的解析式；
（2）连接 OD，OC，求△OCD 的面积．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接AD，

∵菱形 ABDC 的顶点D，C 在反比例函数y=上，横坐标分别为和2，
∴D(,2k)，C(2, ),
∵BC∥x轴，∴B(－1，),A(,－k),
∴BC=3，AD=3k，
∵S菱形ABCD=9，
∴×3×3k=9，解得：k=2，
∴D(,4)，C(2, 1),
设直线CD的解析式为y=mx+n，
∴m+n=4，2m+n=1，
解得：m=－2，n=5，
即直线CD的解析式为y=－2x+5.
（2）设直线y=－2x+5交x轴、y轴于点F，E，
则F(,0),E(0,5)，
∴S△OCD=S△EOF－S△OED－S△OCF
=×5×－×5×－×1×
=，
即△OCD的面积为：.
【例3】如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y=的图象上，
∴k=3，
即函数的解析式为y=；
（2）E，F两点坐标为：E（，2），F（3，），
∴S△EFA=AF•BE
=×（3﹣），
=，
∴当k=3时，S△EFA有最大值，最大值．
【变式3-1】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的纵坐标为6，AC＝3CB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组＜kx+b＜4的解集；
（3）点P（x，y）是直线y＝k+b上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，若△BPQ的面积记为S，求S的最大值．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，

则∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，即，
解得：BE＝2，CE＝1，
∴A（1，6），
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）将A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
即直线解析式为：y＝2x+4，
由B（﹣3，﹣2），得不等式组＜2x+4＜4的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）设P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），
则PQ＝﹣m，△BPQ中PQ边上的高为2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，
∴S＝•（﹣m）（2m+6）
＝﹣m2﹣3m
＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，最大值为．

1.如图所示，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A在点B左侧，已知A点的纵坐标为2.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出x>的解集；
（3）将直线y=x沿y轴向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y=x中，y=2时，x=－4，
即A(－4,2)，
∵反比例函数y=的图象过点A，
∴k=－8，
即反比例函数的解析式为：y=；
（2）联立y=，y=x，解得：
x=－4，y=2（点A）；或x=4，y=－2，
即B（4，－2），
∴x>的解集为：x0）的图象与BC边交于点E.
（1）当F为AB边的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积为？

【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，AB=OC=2，BC=OA=3，
∵F是AB中点，
∴F(3，1)，
将F(3，1)代入y=得：k=3，
即反比例函数的解析式为：y=.
（2）由图象知，点F位于B点下方，B(3,2)，
∴当x=3时，y