2021学年6.1 平面向量的概念练习题

这是一份2021学年6.1 平面向量的概念练习题，共8页。


基础巩固
1．对于单位向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，下列一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 都是单位向量，方向不一定相同，故A错误；两个向量夹角不确定，故B错误；只有两个向量同向时，C才正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 一定成立，故D正确．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A．[0，1]B． SKIPIF 1 < 0 C．[1，2]D．[0，2]
【答案】D
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴（ SKIPIF 1 < 0 ）2 SKIPIF 1 < 0 • SKIPIF 1 < 0 2 SKIPIF 1 < 0
| SKIPIF 1 < 0 |2 SKIPIF 1 < 0 2＝4，所以可得： SKIPIF 1 < 0 ，
配方可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 [0，2]．
3．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是矩形D． SKIPIF 1 < 0 是菱形
【答案】C
【详解】
由题,因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线相等,则平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形,
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则与 SKIPIF 1 < 0 平行的单位向量为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则与 SKIPIF 1 < 0 平行的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
5．下列说法正确的是( )
A．单位向量都相等B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误；
对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当 SKIPIF 1 < 0 时可能 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不一定平行，所以C错误；
对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立，所以D正确.
综上可知，D为正确选项，
6．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则与向量 SKIPIF 1 < 0 同向的单位向量是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
解：由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴与向量 SKIPIF 1 < 0 同向的单位向量是： SKIPIF 1 < 0 .
7．若 SKIPIF 1 < 0 为任一非零向量， SKIPIF 1 < 0 为模为1的向量，给出下列各式：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .其中正确的是（ ）
A．①④B．③C．①②③D．②③
【答案】B
【详解】
① SKIPIF 1 < 0 的大小不能确定，故不能比较 SKIPIF 1 < 0 的大小；故①错误;
② SKIPIF 1 < 0 为任一非零向量，向量 SKIPIF 1 < 0 的模为 SKIPIF 1 < 0 ，两个向量的方向不一定，故不能得结论 SKIPIF 1 < 0 ；故②错误;
③因为 SKIPIF 1 < 0 为任一非零向量，所以 SKIPIF 1 < 0 ；故③正确;
④向量的模是一个非负实数，因为向量 SKIPIF 1 < 0 的模为 SKIPIF 1 < 0 ，所以④错误.
8．下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为平行向量,则 SKIPIF 1 < 0 同向D．若 SKIPIF 1 < 0 为单位向量,则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误；
对于B，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 为平行向量,则 SKIPIF 1 < 0 同向或反向，所以C错误；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 为单位向量,则 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确；
9．如图所示，在正六边形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
由题,可知 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
10．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 为非零向量，下列有关向量 SKIPIF 1 < 0 的描述正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】
SKIPIF 1 < 0 表示与向量 SKIPIF 1 < 0 同方向的单位向量，所以 SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 正确，所以AB正确，当 SKIPIF 1 < 0 不是单位向量时， SKIPIF 1 < 0 不正确，
SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.
11．（多选）关于平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法中不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】
解：对于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 与任意向量平行，所以 SKIPIF 1 < 0 不一定与 SKIPIF 1 < 0 平行，故 SKIPIF 1 < 0 错；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，向量数量积满足分配律，故 SKIPIF 1 < 0 对；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，向量数量积不满足消去率，故 SKIPIF 1 < 0 错；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为方向的向量， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为方向的相量，故 SKIPIF 1 < 0 错．
12．（多选）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下面正确的式子是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】
因为向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两个单位向量，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角不为 SKIPIF 1 < 0 时，不能得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选项A、C错误；
因为向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两个单位向量，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都成立，故选项B、D正确.
拓展提升
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，且 SKIPIF 1 < 0 ，求点B的坐标.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,①
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,②
联立①②解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
14．如图，设 SKIPIF 1 < 0 是平面内相交成 SKIPIF 1 < 0 角的两条数轴 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正方向同向的单位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则把有序数对 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 在坐标系 SKIPIF 1 < 0 中的坐标，假设 SKIPIF 1 < 0 .
（1）计算 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）设向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 垂直，若存在求出 SKIPIF 1 < 0 的值，若不存在请说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）见解析.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，由平面向量基本定理得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的值 SKIPIF 1 < 0
（3）假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 垂直，则有： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ， 使得 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 垂直.
15．已知向量，向量分别为与向量同向的单位向量.
（Ⅰ）求向量与的夹角；
（Ⅱ）求向量的坐标.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）运用向量的数量积求解即可．（Ⅱ）先根据单位向量的概念求得，再求的坐标．
试题解析：
（Ⅰ）因为向量，
所以，，
所以，
又因为，
所以.
即向量与的夹角为．
（Ⅱ）由题意得
，
，
所以．
即向量的坐标为．