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数学九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课后测评
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这是一份数学九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课后测评，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．延长线段AB到C，使BC＝2AB，则ACAB为( )
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
2．若△ABC与△DEF相似，且相似比为13，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．1：eq \r(3)
3．在比例尺为120的图纸上画出的某个零件的长是32 mm，这个零件的实际长是( )
A．64 m B．64 dm C．64 cm D．64 mm
4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列各式的值不等于eq \f(\r(5)－1,2)的是( )
A.eq \f(AP,AB) B.eq \f(PB,AP) C.eq \f(PB,AB) D.eq \r(\f(PB,AB))
5．小李家承包了两块三角形土地，分别是△ABC和△A′B′C′，已知eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,4)，且△ABC的面积为9 m2，则△A′B′C′的面积是( )
A．4 m2 B．12 m2 C．16 m2 D．6eq \r(3) m2
6．如图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
7．某天，身高1.60米的小明在太阳光下测得自己的影长是3.20米，小华在同一时刻测得自己的影长是3.30米，则小华的身高是( )
A．1.70米 B．1.65米 C．1.625米 D．1.60米
8．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则eq \f(S△AMD,S△MBN)＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C．1 D.eq \f(1,2)
二、填空题(每题3分，共30分)
9．如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若要使△ABC∽△ACD，那么还需要添加的一个条件是________(填上你认为正确的一个即可)．
10．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的对应角平分线之比为________，周长之比为________，面积之比为________．
11．若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应中线的比是________．
12．已知△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC边、EF边上的高，且AM＝3，DN＝9，已知△DEF的面积为27，那么△ABC的面积为________．
13．将两块三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则eq \f(BE,CE)的值是________．
14．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平地面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为18米，则古塔的高度是________米．
15．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为________米．
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是________．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为________．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH·BD；
⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16.
你认为其中正确的是________．(填写序号)
三、解答题(19～20题每题7分，21～24题每题8分，25～26题每题10分，共66分)
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E.
(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长．
20.如图①，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图②，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ.
(1)求证：△PBE∽△QAB.
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？若相似给出证明；若不相似请说明理由．
(3)延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为________．
21．如图，一名同学想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得高为1 m的竹竿影长为0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙上(CD)，他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m，又测得地面部分的影长(BC)为2.7 m，他测得的树高应为多少米？
22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O.若eq \f(AG,OG)＝eq \f(2,3)，AE＝4，求BC的长．
23．如图①，已知平面内一点P与一直线l，如果过点P作直线l′⊥l，垂足为P′，那么垂足P′叫做点P在直线l上的射影；如果线段PQ的两个端点P和Q在直线l上的射影分别为点P′和Q′，那么线段P′Q′叫做线段PQ在直线l上的射影．
(1)如图②，E、F为线段AD外两点，EB⊥AD，FC⊥AD，垂足分别为B、C.则E点在AD上的射影是________点，A点在AD上的射影是________点，线段EF在AD上的射影是________，线段AE在AD上的射影是________；
(2)根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项(要求：画出图形，写出说理过程)．
24．如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径
的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA·PB.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AB＝3PA，求eq \f(AC,BC)的值．
25．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q.已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b.
(1)四边形EBHP的面积________四边形GPFD的面积(填“＞”“＝”或“＜”)；
(2)求证：△P1FQ∽△P2HQ；
(3)设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求eq \f(S1,S2)的值．
26．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C
7．B
8．A 【点拨】设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，
∠DAM＝∠DCN＝90°.
在△DAE和△DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DA＝DC，,∠DAE＝∠DCF，,AE＝CF，))
∴△DAE≌△DCF.
∴∠ADE＝∠CDF.
在△DAM和△DCN中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADM＝∠CDN，,DA＝DC，,∠DAM＝∠DCN，))
∴△DAM≌△DCN.
∴AM＝CN.
∵AB＝BC，
∴BM＝BN.
∵CN∥AD，
∴eq \f(CN,AD)＝eq \f(CF,AF)＝eq \f(1,3).
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a.
∴eq \f(S△AMD,S△MBN)＝eq \f(\f(1,2)·AD·AM,\f(1,2)·BM·BN)＝eq \f(3a·a,2a·2a)＝eq \f(3,4).
故选A.
二、9.∠B＝∠ACD(答案不唯一)
10．2：3；2：3；4：9
11．4：9 12.3 13.eq \f(\r(3),3) 14.14.4
15．3 16.6：1
17.eq \f(6,5)
18．①②③④ 【点拨】①由正方形ABCD和正方形BGEF可知，
△ABD和△FBE都是等腰直角三角形．
∴∠ABD＝∠FBE＝45°.
∴∠ABF＝∠DBE.
∴①正确．
②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴eq \f(AB,BD)＝eq \f(BF,BE).
又∵∠ABF＝∠DBE，
∴△ABF∽△DBE.
∴②正确．
③∵△ABF∽△DBE，
∴∠FAB＝∠EDB＝45°.
∴AF⊥BD.
∴③正确．
④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，
∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDE.
∴eq \f(BE,BD)＝eq \f(BH,BE).
∴BE2＝BH·BD.
易得BE＝eq \r(2)BG，
∴2BG2＝BH·BD.
∴④正确．
⑤∵CE：DE＝1：3，
∴设CE＝x，DE＝3x.
∴BC＝DC＝AB＝AD＝4x，
∴BD＝4eq \r(2)x.
在Rt△BCE中，由勾股定理知BE＝eq \r(17)x.
∵BE2＝BD·BH，
∴17x2＝4eq \r(2)x·BH.
∴BH＝eq \f(17\r(2),8)x.
∴DH＝eq \f(15\r(2),8)x.
∴BHDH＝1715.
∴⑤错误．
三、19.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AMB.
又易知∠DEA＝∠B＝90°，
∴△DAE∽△AMB.
(2)解：由(1)知△DAE∽△AMB，
∴DE：AD＝AB：AM.
∵M是边BC的中点，BC＝6，
∴BM＝3.
又∵AB＝4，∠B＝90°，
∴AM＝5.
∴DE：6＝4：5.
∴DE＝eq \f(24,5).
20．(1)证明：由题易知∠PBE＋∠ABQ＝90°，
∠PBE＋∠PEB＝90°，
∴∠ABQ＝∠PEB.
在△PBE与△QAB中，
∵∠PEB＝∠ABQ，
∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB.
(2)解：△PBE和△BAE相似．
证明：∵△PBE∽△QAB，
∴eq \f(BE,AB)＝eq \f(PE,BQ).
∵BQ＝PB，∴eq \f(PE,PB)＝eq \f(BE,AB).
又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，
∴△PBE∽△BAE.
(3)等边三角形
21．解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为h m，
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m，墙上的影高CD为1.2 m，
∴eq \f(1,0.9)＝eq \f(1.2,x)，
解得x＝1.08.
∴树的影长为1.08＋2.7＝3.78(m)．
∴eq \f(1,0.9)＝eq \f(h,3.78)，解得h＝4.2.
答：测得的树高为4.2 m.
22．解：(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC.
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF.
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF.
∴BE∥DF.
∴四边形BEDF为平行四边形．
(2)设AG＝2a，
∵eq \f(AG,OG)＝eq \f(2,3)，
∴OG＝3a，∴AO＝5a.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，
∴AC＝10a，
∴CG＝8a.
∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB.
∴eq \f(AE,BC)＝eq \f(AG,GC)＝eq \f(1,4).
∵AE＝4，
∴BC＝16.
23．解：(1)B；A；线段BC；线段AB
(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D,
则AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD.
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
又易知∠B＋∠A＝90°，∠B＋∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，
即CD是AC，BC在斜边上射影的比例中项．
24．(1)证明：如图，连接OC.
∵PC2＝PA·PB，
∴eq \f(PA,PC)＝eq \f(PC,PB).
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB.
∴∠PCA＝∠B.
易得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA.
∴∠PCA＋∠OCA＝90°.
∴OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝eq \f(3,2)PA，PO＝eq \f(5,2)PA.
∵OC⊥PC，
∴PC＝eq \r(PO2－OC2)＝2PA.
∵△PAC∽△PCB，
∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(PC,PB)＝eq \f(2PA,4PA)＝eq \f(1,2).
25．(1)＝
(2)证明：∵PP1＝PG，PP2＝PE，
易知PE·PH＝2ab，PG·PF＝2ab.
∴PP2·PH＝PP1·PF，
即eq \f(PP2,PP1)＝eq \f(PF,PH).
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H.
∴∠PFP2＝∠PHP1.
又∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ.
(3)解：如图，连接P1P2、FH.
易得eq \f(PP2,CH)＝eq \f(a,2a)＝eq \f(1,2)，eq \f(PP1,CF)＝eq \f(b,2b)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(PP2,CH)＝eq \f(PP1,CF).
又∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH.
∴eq \f(P1P2,FH)＝eq \f(PP1,CF)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(S△P1PP2,S△CFH)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(P1P2,FH)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
由(2)中△P1FQ∽△P2HQ，得eq \f(P1Q,P2Q)＝eq \f(FQ,HQ)，
∴eq \f(P1Q,FQ)＝eq \f(P2Q,HQ).
又∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH.
∴eq \f(S△P1QP2,S△FQH)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(P1P2,FH)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
∵S1＝S△P1PP2＋S△P1QP2，S2＝S△CFH＋S△FQH，
∴S1＝eq \f(1,4)S△CFH＋eq \f(1,4)S△FQH＝eq \f(1,4)S2.
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(1,4).
26．解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC＝10 cm.
∴AO＝eq \f(1,2)AC＝5 cm.
①当AP＝PO＝t cm时，
过P作PG⊥AO于G，如图①，
∴AG＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(5,2) cm.
∵∠PGA＝∠ADC＝90°，∠PAG＝∠CAD，
∴△APG∽△ACD.
∴eq \f(AP,AC)＝eq \f(AG,AD).
∴eq \f(t,10)＝eq \f(\f(5,2),8)，
解得t＝eq \f(25,8).
②当AP＝AO时，t＝5，
∴当t为eq \f(25,8)或5时，△AOP是等腰三角形．
(2)如图②，过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)AB＝3 cm.
由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又∠DOP＝∠BOE，
∴△DOP≌△BOE.
∴BE＝PD＝(8－t)cm.
则S△BOE＝eq \f(1,2)BE·OH＝eq \f(1,2)×3(8－t)＝12－eq \f(3,2)t(cm2)．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为eq \f(DQ,DC)＝eq \f(t,6).
∴eq \f(S△DFQ,S△DOC)＝eq \f(t2,36).
∵S△DOC＝eq \f(1,4)S矩形ABCD＝eq \f(1,4)×6×8＝12 cm2，
∴S△DFQ＝12×eq \f(t2,36)＝eq \f(t2,3)(cm2)．
∴S五边形OECQF＝S△DBC－S△BOE－S△DFQ＝eq \f(1,2)×6×8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12－\f(3,2)t))－eq \f(t2,3)＝－eq \f(1,3)t2＋eq \f(3,2)t＋12(cm2)．
∴S与t的函数关系式为S＝－eq \f(1,3)t2＋eq \f(3,2)t＋12.
(3)存在．
∵S△ACD＝eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)，
∴S五边形OECQF：S△ACD＝(－eq \f(1,3)t2＋eq \f(3,2)t＋12)24＝916.
解得t＝3或t＝eq \f(3,2).
∴t＝3或eq \f(3,2)时，S五边形OECQFS△ACD＝916.
(4)存在．如图③，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N.
要使OD平分∠COP，则DM＝DN.
又易知DN＝eq \f(6×8,10)＝eq \f(24,5)(cm)，
∴DM＝DN＝eq \f(24,5) cm.
∴OM＝eq \r(OD2－DM2)＝eq \f(7,5) cm.
又易知OP·DM＝3PD，
∴OP＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(5,8)t))cm.
∴PM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)－\f(5,8)t))cm.
∵PD2＝PM2＋DM2，
∴(8－t)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)－\f(5,8)t))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,5)))eq \s\up12(2)，
解得t＝16(不合题意，舍去)或t＝eq \f(112,39).
∴当t＝eq \f(112,39)时，OD平分∠COP.
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
1．延长线段AB到C，使BC＝2AB，则ACAB为( )
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
2．若△ABC与△DEF相似，且相似比为13，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．1：eq \r(3)
3．在比例尺为120的图纸上画出的某个零件的长是32 mm，这个零件的实际长是( )
A．64 m B．64 dm C．64 cm D．64 mm
4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列各式的值不等于eq \f(\r(5)－1,2)的是( )
A.eq \f(AP,AB) B.eq \f(PB,AP) C.eq \f(PB,AB) D.eq \r(\f(PB,AB))
5．小李家承包了两块三角形土地，分别是△ABC和△A′B′C′，已知eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,4)，且△ABC的面积为9 m2，则△A′B′C′的面积是( )
A．4 m2 B．12 m2 C．16 m2 D．6eq \r(3) m2
6．如图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
7．某天，身高1.60米的小明在太阳光下测得自己的影长是3.20米，小华在同一时刻测得自己的影长是3.30米，则小华的身高是( )
A．1.70米 B．1.65米 C．1.625米 D．1.60米
8．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则eq \f(S△AMD,S△MBN)＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C．1 D.eq \f(1,2)
二、填空题(每题3分，共30分)
9．如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若要使△ABC∽△ACD，那么还需要添加的一个条件是________(填上你认为正确的一个即可)．
10．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的对应角平分线之比为________，周长之比为________，面积之比为________．
11．若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应中线的比是________．
12．已知△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC边、EF边上的高，且AM＝3，DN＝9，已知△DEF的面积为27，那么△ABC的面积为________．
13．将两块三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则eq \f(BE,CE)的值是________．
14．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平地面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为18米，则古塔的高度是________米．
15．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为________米．
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是________．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为________．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH·BD；
⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16.
你认为其中正确的是________．(填写序号)
三、解答题(19～20题每题7分，21～24题每题8分，25～26题每题10分，共66分)
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E.
(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长．
20.如图①，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图②，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ.
(1)求证：△PBE∽△QAB.
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？若相似给出证明；若不相似请说明理由．
(3)延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为________．
21．如图，一名同学想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得高为1 m的竹竿影长为0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙上(CD)，他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m，又测得地面部分的影长(BC)为2.7 m，他测得的树高应为多少米？
22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O.若eq \f(AG,OG)＝eq \f(2,3)，AE＝4，求BC的长．
23．如图①，已知平面内一点P与一直线l，如果过点P作直线l′⊥l，垂足为P′，那么垂足P′叫做点P在直线l上的射影；如果线段PQ的两个端点P和Q在直线l上的射影分别为点P′和Q′，那么线段P′Q′叫做线段PQ在直线l上的射影．
(1)如图②，E、F为线段AD外两点，EB⊥AD，FC⊥AD，垂足分别为B、C.则E点在AD上的射影是________点，A点在AD上的射影是________点，线段EF在AD上的射影是________，线段AE在AD上的射影是________；
(2)根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项(要求：画出图形，写出说理过程)．
24．如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径
的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA·PB.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AB＝3PA，求eq \f(AC,BC)的值．
25．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q.已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b.
(1)四边形EBHP的面积________四边形GPFD的面积(填“＞”“＝”或“＜”)；
(2)求证：△P1FQ∽△P2HQ；
(3)设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求eq \f(S1,S2)的值．
26．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C
7．B
8．A 【点拨】设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，
∠DAM＝∠DCN＝90°.
在△DAE和△DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DA＝DC，,∠DAE＝∠DCF，,AE＝CF，))
∴△DAE≌△DCF.
∴∠ADE＝∠CDF.
在△DAM和△DCN中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADM＝∠CDN，,DA＝DC，,∠DAM＝∠DCN，))
∴△DAM≌△DCN.
∴AM＝CN.
∵AB＝BC，
∴BM＝BN.
∵CN∥AD，
∴eq \f(CN,AD)＝eq \f(CF,AF)＝eq \f(1,3).
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a.
∴eq \f(S△AMD,S△MBN)＝eq \f(\f(1,2)·AD·AM,\f(1,2)·BM·BN)＝eq \f(3a·a,2a·2a)＝eq \f(3,4).
故选A.
二、9.∠B＝∠ACD(答案不唯一)
10．2：3；2：3；4：9
11．4：9 12.3 13.eq \f(\r(3),3) 14.14.4
15．3 16.6：1
17.eq \f(6,5)
18．①②③④ 【点拨】①由正方形ABCD和正方形BGEF可知，
△ABD和△FBE都是等腰直角三角形．
∴∠ABD＝∠FBE＝45°.
∴∠ABF＝∠DBE.
∴①正确．
②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴eq \f(AB,BD)＝eq \f(BF,BE).
又∵∠ABF＝∠DBE，
∴△ABF∽△DBE.
∴②正确．
③∵△ABF∽△DBE，
∴∠FAB＝∠EDB＝45°.
∴AF⊥BD.
∴③正确．
④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，
∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDE.
∴eq \f(BE,BD)＝eq \f(BH,BE).
∴BE2＝BH·BD.
易得BE＝eq \r(2)BG，
∴2BG2＝BH·BD.
∴④正确．
⑤∵CE：DE＝1：3，
∴设CE＝x，DE＝3x.
∴BC＝DC＝AB＝AD＝4x，
∴BD＝4eq \r(2)x.
在Rt△BCE中，由勾股定理知BE＝eq \r(17)x.
∵BE2＝BD·BH，
∴17x2＝4eq \r(2)x·BH.
∴BH＝eq \f(17\r(2),8)x.
∴DH＝eq \f(15\r(2),8)x.
∴BHDH＝1715.
∴⑤错误．
三、19.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AMB.
又易知∠DEA＝∠B＝90°，
∴△DAE∽△AMB.
(2)解：由(1)知△DAE∽△AMB，
∴DE：AD＝AB：AM.
∵M是边BC的中点，BC＝6，
∴BM＝3.
又∵AB＝4，∠B＝90°，
∴AM＝5.
∴DE：6＝4：5.
∴DE＝eq \f(24,5).
20．(1)证明：由题易知∠PBE＋∠ABQ＝90°，
∠PBE＋∠PEB＝90°，
∴∠ABQ＝∠PEB.
在△PBE与△QAB中，
∵∠PEB＝∠ABQ，
∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB.
(2)解：△PBE和△BAE相似．
证明：∵△PBE∽△QAB，
∴eq \f(BE,AB)＝eq \f(PE,BQ).
∵BQ＝PB，∴eq \f(PE,PB)＝eq \f(BE,AB).
又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，
∴△PBE∽△BAE.
(3)等边三角形
21．解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为h m，
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m，墙上的影高CD为1.2 m，
∴eq \f(1,0.9)＝eq \f(1.2,x)，
解得x＝1.08.
∴树的影长为1.08＋2.7＝3.78(m)．
∴eq \f(1,0.9)＝eq \f(h,3.78)，解得h＝4.2.
答：测得的树高为4.2 m.
22．解：(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC.
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF.
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF.
∴BE∥DF.
∴四边形BEDF为平行四边形．
(2)设AG＝2a，
∵eq \f(AG,OG)＝eq \f(2,3)，
∴OG＝3a，∴AO＝5a.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，
∴AC＝10a，
∴CG＝8a.
∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB.
∴eq \f(AE,BC)＝eq \f(AG,GC)＝eq \f(1,4).
∵AE＝4，
∴BC＝16.
23．解：(1)B；A；线段BC；线段AB
(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D,
则AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD.
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
又易知∠B＋∠A＝90°，∠B＋∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，
即CD是AC，BC在斜边上射影的比例中项．
24．(1)证明：如图，连接OC.
∵PC2＝PA·PB，
∴eq \f(PA,PC)＝eq \f(PC,PB).
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB.
∴∠PCA＝∠B.
易得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA.
∴∠PCA＋∠OCA＝90°.
∴OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝eq \f(3,2)PA，PO＝eq \f(5,2)PA.
∵OC⊥PC，
∴PC＝eq \r(PO2－OC2)＝2PA.
∵△PAC∽△PCB，
∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(PC,PB)＝eq \f(2PA,4PA)＝eq \f(1,2).
25．(1)＝
(2)证明：∵PP1＝PG，PP2＝PE，
易知PE·PH＝2ab，PG·PF＝2ab.
∴PP2·PH＝PP1·PF，
即eq \f(PP2,PP1)＝eq \f(PF,PH).
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H.
∴∠PFP2＝∠PHP1.
又∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ.
(3)解：如图，连接P1P2、FH.
易得eq \f(PP2,CH)＝eq \f(a,2a)＝eq \f(1,2)，eq \f(PP1,CF)＝eq \f(b,2b)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(PP2,CH)＝eq \f(PP1,CF).
又∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH.
∴eq \f(P1P2,FH)＝eq \f(PP1,CF)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(S△P1PP2,S△CFH)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(P1P2,FH)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
由(2)中△P1FQ∽△P2HQ，得eq \f(P1Q,P2Q)＝eq \f(FQ,HQ)，
∴eq \f(P1Q,FQ)＝eq \f(P2Q,HQ).
又∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH.
∴eq \f(S△P1QP2,S△FQH)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(P1P2,FH)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
∵S1＝S△P1PP2＋S△P1QP2，S2＝S△CFH＋S△FQH，
∴S1＝eq \f(1,4)S△CFH＋eq \f(1,4)S△FQH＝eq \f(1,4)S2.
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(1,4).
26．解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC＝10 cm.
∴AO＝eq \f(1,2)AC＝5 cm.
①当AP＝PO＝t cm时，
过P作PG⊥AO于G，如图①，
∴AG＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(5,2) cm.
∵∠PGA＝∠ADC＝90°，∠PAG＝∠CAD，
∴△APG∽△ACD.
∴eq \f(AP,AC)＝eq \f(AG,AD).
∴eq \f(t,10)＝eq \f(\f(5,2),8)，
解得t＝eq \f(25,8).
②当AP＝AO时，t＝5，
∴当t为eq \f(25,8)或5时，△AOP是等腰三角形．
(2)如图②，过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)AB＝3 cm.
由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又∠DOP＝∠BOE，
∴△DOP≌△BOE.
∴BE＝PD＝(8－t)cm.
则S△BOE＝eq \f(1,2)BE·OH＝eq \f(1,2)×3(8－t)＝12－eq \f(3,2)t(cm2)．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为eq \f(DQ,DC)＝eq \f(t,6).
∴eq \f(S△DFQ,S△DOC)＝eq \f(t2,36).
∵S△DOC＝eq \f(1,4)S矩形ABCD＝eq \f(1,4)×6×8＝12 cm2，
∴S△DFQ＝12×eq \f(t2,36)＝eq \f(t2,3)(cm2)．
∴S五边形OECQF＝S△DBC－S△BOE－S△DFQ＝eq \f(1,2)×6×8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12－\f(3,2)t))－eq \f(t2,3)＝－eq \f(1,3)t2＋eq \f(3,2)t＋12(cm2)．
∴S与t的函数关系式为S＝－eq \f(1,3)t2＋eq \f(3,2)t＋12.
(3)存在．
∵S△ACD＝eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)，
∴S五边形OECQF：S△ACD＝(－eq \f(1,3)t2＋eq \f(3,2)t＋12)24＝916.
解得t＝3或t＝eq \f(3,2).
∴t＝3或eq \f(3,2)时，S五边形OECQFS△ACD＝916.
(4)存在．如图③，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N.
要使OD平分∠COP，则DM＝DN.
又易知DN＝eq \f(6×8,10)＝eq \f(24,5)(cm)，
∴DM＝DN＝eq \f(24,5) cm.
∴OM＝eq \r(OD2－DM2)＝eq \f(7,5) cm.
又易知OP·DM＝3PD，
∴OP＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(5,8)t))cm.
∴PM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)－\f(5,8)t))cm.
∵PD2＝PM2＋DM2，
∴(8－t)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)－\f(5,8)t))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,5)))eq \s\up12(2)，
解得t＝16(不合题意，舍去)或t＝eq \f(112,39).
∴当t＝eq \f(112,39)时，OD平分∠COP.
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
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