2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.6 对数与对数函数

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.6 对数与对数函数，共8页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记4个知识点
1．对数的概念
(1)对数的定义
如果①________________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作②________，其中③________叫做对数的底数，④________叫做真数．
(2)几种常见对数
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
(ⅰ)algaN＝⑩________(a>0且a≠1)；
(ⅱ)lgaaN＝⑪________(a>0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
(ⅰ)换底公式：⑫________________(a，b均大于零且不等于1)；
(ⅱ)lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝⑬________.
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
(ⅰ)lga(MN)＝⑭________________；
(ⅱ)lgaeq \f(M,N)＝⑮________________；
(ⅲ)lgaMn＝⑯________________(n∈R)；
(ⅳ)lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数eq \(○,\s\up1(28))________互为反函数，它们的图象关于直线eq \(○,\s\up1(29))________对称．
二、必明2个易误点
1．在运算性质lgaMn＝nlgaM中，易忽视M>0.
2．在解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝lg2(x＋1)是对数函数．( )
(2)lg2x2＝2lg2x.( )
(3)当x>1时，lgax>0.( )
(4)函数y＝lneq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
二、教材改编
2．使式子lg(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是( )

A．x>2 B．x<2
C.eq \f(1,2)3．已知f(x)＝|lg x|，若a＝f(eq \f(1,4))，b＝f(eq \f(1,3))，c＝f(2)，则( )
A．aC．c
三、易错易混
4．已知函数f(x)＝lg(x2＋2ax－5a)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为________．
5．函数y＝3＋lga(x＋3)的图象必经过定点的坐标为( )
A．(－2,3) B．(－1,4) C．(0,3) D．(－2,2)

四、走进高考
6．[2020·天津卷]设a＝30.7，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.8，c＝lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．beq \x(考点一) 对数式的化简与求值[自主练透型]

1．[2020·全国卷Ⅰ]设alg34＝2，则4－a＝( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
2．计算：eq \f(lg 2＋lg 5－lg 8,lg 50－lg 40)＝________.
3．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝________.
4．已知lg189＝a,18b＝5，则用a，b表示lg3645＝________.

悟·技法
对数运算的一般思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算．
(3)利用式子lg 2＋lg 5＝1进行化简.

考点二 对数函数的图象及其应用
[互动讲练型]
[例1] (1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的图象大致是( )
(2)当0A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2)
悟·技法
对数型函数图象的考查类型及解题思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象可能是( )
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

考点三 对数函数的性质及应用[分层深化型]
考向一：比较对数值的大小
[例2] [2020·全国卷Ⅲ]设a＝lg32，b＝lg53，c＝eq \f(2,3)，则( )
A．a考向二：解简单的对数不等式或方程
[例3] 已知函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)))0的解集为( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
考向三：与对数函数有关的函数性质问题
[例4] (1)函数y＝lga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
(2)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋6，x≤2，,3＋lgax，x>2))(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
悟·技法
比较对数值大小的方法
2.求解对数不等式的两种类型及方法
3.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．(分类讨论)
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．已知a＝，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
4．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)的最小值为________．
[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2019·天津卷]已知a＝lg52，b＝lg0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b6．已知函数f(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“ <”“＝”或“>”)

[拓展练]——(着眼于迁移应用)
7．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg\f(1,2)－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

第六节 对数与对数函数
【知识重温】
①ax＝N(a>0且a≠1) ②x＝lgaN ③a ④N ⑤lgaN ⑥10 ⑦lg N ⑧e ⑨ln N ⑩N ⑪N ⑫lgbN＝eq \f(lgaN,lgab) ⑬lgad ⑭lgaM＋lgaN ⑮lgaM－lgaN ⑯nlgaM ⑰(0，＋∞) ⑱R ⑲(1,0)
⑳1 eq \(○,\s\up1(21))0 eq \(○,\s\up1(22))y>0 eq \(○,\s\up1(23))y<0 eq \(○,\s\up1(24))y<0
eq \(○,\s\up1(25))y>0 eq \(○,\s\up1(26))增函数 eq \(○,\s\up1(27))减函数 eq \(○,\s\up1(28))y＝lgax
eq \(○,\s\up1(29))y＝x
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：要使lg(2x－1)(2－x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x>0,2x－1>0,2x－1≠1))，解得eq \f(1,2)答案：D
3．解析：f(x)＝|lg x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x，x≥1，,－lg x，0作出f(x)的图象如图．
f(x)在(0,1)上为减函数．
∵0∴f(eq \f(1,4))>f(eq \f(1,3))即a>b.
又∵b＝f(eq \f(1,3))＝|lgeq \f(1,3)|＝lg 3>|lg 2|＝f(2)＝c，
∴a>b>c.
答案：D
4．解析：函数f(x)＝lg(x2＋2ax－5a)在[2，＋∞)上是增函数，则函数t＝x2＋2ax－5a在[2，＋∞)上是增函数，并且t＝x2＋2ax－5a在区间[2，＋∞)上的最小值大于0，因此可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≤2，,4＋4a－5a>0，))解得－2≤a<4.
答案：[－2,4)
5．解析：因为当x＝－2时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必过定点(－2,3)．
答案：A
6．解析：由题知c＝lg0.70.8<1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.8＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>1，所以c答案：D
课堂考点突破
考点一
1．解析：解法一 因为alg34＝2，所以lg34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9).故选B.
解法二 因为alg34＝2，所以－alg34＝－2，所以lg34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝eq \f(1,32)＝eq \f(1,9)，故选B.
答案：B
2．解析：原式＝eq \f(lg\f(2×5,8),lg\f(50,40))＝eq \f(lg\f(5,4),lg\f(5,4))＝1.
答案：1
3．解析：因为2a＝5b＝m，
所以a＝lg2m，b＝lg5m，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2，
所以m2＝10，m＝eq \r(10).
答案：eq \r(10)
4．解析：因为lg189＝a,18b＝5，所以lg185＝b，于是lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－a).
答案：eq \f(a＋b,2－a)
考点二
例1 解析：(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，
则y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝lga|x|的图象关于y轴对称．
因此y＝lga|x|的图象应大致为选项B.
(2)解法一 构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax，当a>1时不满足条件，当0eq \f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
解法二 ∵04x>1，
∴0则有＝2，＝1，
显然4x答案：(1)B (2)B
变式练
1．解析：函数y＝lga(－x)的图象与y＝lgax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B项．故选B项．
答案：B
2．解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
考点三
例2 解析：∵23<32，∴2<，∴lg3252，∴3>，∴lg53>
lg5＝eq \f(2,3)，∴b>c，∴a答案：A
例3 解析：解法一 因为函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而eq \f(2,a)0⇒2x－1>1，所以x>1.
解法二 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)))lgaeq \f(3,a)，
所以lga2－1所以a>1，由f(2x－1)>0得lga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1.
答案：C
例4 解析：(1)题中隐含a>0，∴2－ax在区间[0,1]上是减函数．∴y＝lgau应为增函数，且u＝2－ax在区间[0,1]上应恒大于零，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,2－a>0，))∴1(2)当x≤2时，f(x)＝－x＋6≥4.
因为f(x)的值域为[4，＋∞)，
所以当a>1时，3＋lgax>3＋lga2≥4，
所以lga2≥1，所以1当0故a∈(1,2]．
答案：(1)C (2)(1,2]
同类练
3．解析：因为01.所以c>a>b.
答案：D
4．解析：f(x)＝eq \f(1,2)lg2x·2lg2(2x)＝lg2x(lg22＋lg2x)＝lg2x＋(lg2x)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，所以当lg2x＝－eq \f(1,2)，即x＝eq \f(\r(2),2)时，f(x)取得最小值－eq \f(1,4).
答案：－eq \f(1,4)
变式练
5．解析：a＝lg520.51＝eq \f(1,2)，故a＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c答案：A
6．解析：因为f(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)答案：<
7．解析：若a>0，则lg2a> a，即2lg2a>0，所以a>1.若a<0，则(－a)>
lg2(－a)，即2lg2(－a)<0，所以0<－a<1，所以－1综上知，实数a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：C
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
⑤________
常用对数
底数为⑥________
⑦________
自然对数
底数为⑧________
⑨________
a>1
0图象
性质
(1)定义域：⑰________
(2)值域：⑱________
(3)过点⑲________，即x＝⑳________时，y＝eq \(○,\s\up1(21))________
(4)当x>1时，eq \(○,\s\up1(22))________
当0(4)当x>1时，eq \(○,\s\up1(24))________
当0(5)是(0，＋∞)上的
eq \(○,\s\up1(26))________
(5)是(0，＋∞)上的
eq \(○,\s\up1(27))________
若底数相同，真数不同
若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
类型
方法
形如
lgax>lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0形如
lgax>b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解