2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数，共8页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记4个知识点
1．角的分类
(1)任意角可按旋转方向分为①________、②________、③________.
(2)按终边位置可分为④________和终边在坐标轴上的角．
(3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来表示，即β＝⑤________________.
2．象限角
3.角的度量
(1)弧度制：把等于⑩________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(2)角的度量制有：⑪________制，⑫________制．
(3)换算关系：1°＝⑬________rad,1 rad＝⑭________.
(4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为⑮________，扇形面积公式为⑯________________________.
4．任意角的三角函数
二、必明3个易误点
1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．利用180°＝π rad进行互化时，易出现度量单位的混用．
3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)角α＝kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)是第一象限角．( )
(3)若sin α＝sineq \f(π,7)，则α＝eq \f(π,7).( )
(4)－300°角与60°角的终边相同．( )
(5)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.( )
二、教材改编
2．已知α是第一象限角，那么eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
3．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＝____________，cs θ＝________.

三、易错易混
4．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )
A．40π cm2 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
5．角α的终边经过点P(x,4)，且cs α＝eq \f(x,5)，则sin α＝________.

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ，2]若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α>0 B．cs 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
eq \x(考点一) 象限角与终边相同的角的表示
[自主练透型]
1．[2018·全国Ⅱ卷]下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
2．设θ是第三象限角，且|cs eq \f(θ,2)|＝－cs eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．已知角β的终边在直线y＝eq \r(3)x上，则β的集合S＝______________________.
悟·技法
1.终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或eq \f(α,k)的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置.
考点二 扇形的弧长及面积公式[互动讲练型]
[例1] 若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________．
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．若去掉本例中“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
悟·技法
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
2.若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________ cm.
3．已知扇形的面积为2eq \r(3)，扇形的圆心角的弧度数是eq \r(3)，则扇形的周长为________．
考点三 三角函数的定义及应用[分层深化型]
考向一：三角函数的定义
[例2] (1)若α是第二象限角，其终边上有一点P(x，eq \r(5))，且cs α＝eq \f(\r(2),4)x，则sin α的值是( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(6),4)
C.eq \f(\r(10),4) D．－eq \f(\r(10),4)
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－eq \f(5,13)，则eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝________.
考向二：三角函数值的符号
[例3] (1)若eq \f(|sin x|,sin x)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(|tan x|,tan x)＝－1，则x不可能的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若θ满足sin θcs θ<0且cs θ－sin θ<0，则θ在第________象限．
考向三：三角函数线的应用
[例4] 设a＝sin 1，b＝cs 1，c＝tan 1，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b悟·技法
1.三角函数定义应用策略
(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解．
(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．
(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值．
(5)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
2．三角函数值符号的记忆口诀
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线的两个主要应用
(1)三角式比较大小．
(2)解三角不等式(方程).
[变式练]——(着眼于举一反三)
4．sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
5．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cs α<0，则tan α＝________.
6．已知角α的终边过点P(－3cs θ，4cs θ)，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则sin α＝________，tan α＝________.
第四章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【知识重温】
①正角 ②负角 ③零角 ④象限角 ⑤k·360°＋α(k∈Z) ⑥{α|2kπ＜α＜2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z} ⑦{α|2kπ＋eq \f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z} ⑧{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z} ⑨{α|2kπ＋eq \f(3π,2)＜α＜2kπ＋2π，k∈Z} ⑩半径 ⑪角度 ⑫弧度 ⑬eq \f(π,180) ⑭eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))° ⑮l＝|α|r ⑯S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2 ⑰y ⑱x ⑲eq \f(y,x) ⑳正 eq \(○,\s\up1(21))正 eq \(○,\s\up1(22))正 eq \(○,\s\up1(23))正 eq \(○,\s\up1(24))负 eq \(○,\s\up1(25))负 eq \(○,\s\up1(26))负 eq \(○,\s\up1(27))负 eq \(○,\s\up1(28))正 eq \(○,\s\up1(29))负 eq \(○,\s\up1(30))正 eq \(○,\s\up1(31))负 eq \(○,\s\up1(32))MP eq \(○,\s\up1(33))OM eq \(○,\s\up1(34))AT
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
(5)×
2．解析：因为k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
所以k·180°当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角；
当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角．
答案：D
3．解析：r＝ eq \r(－122＋52)＝13，
∴sin θ＝eq \f(y,r)＝eq \f(5,13)，cs θ＝eq \f(x,r)＝－eq \f(12,13).
答案：eq \f(5,13) －eq \f(12,13)
4．解析：∵72°＝eq \f(2π,5)，
∴S扇形＝eq \f(1,2)αR2＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,5)×202＝80π(cm2)．
答案：B
5．解析：由题意得eq \f(x,\r(x2＋16))＝eq \f(x,5)，解得x＝0或x＝±3，
当x＝0时，sin α＝1；当x＝±3时，sin α＝eq \f(4,5).
答案：eq \f(4,5)或1
6．解析：解法一 ∵α是第四象限角，∴－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin 2α<0，cs 2α可正、可负、可零，故选D.
解法二 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cs α>0，∴sin 2α＝2sin α cs α<0，故选D.
答案：D
课堂考点突破
考点一
1．解析：与角eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
答案：C
2．解析：∵θ是第三象限角，∴eq \f(θ,2)是第二或第四象限角，又|cs eq \f(θ,2)|＝－cs eq \f(θ,2)，
∴cs eq \f(θ,2)<0，因此eq \f(θ,2)是第二象限角．
答案：B
3．解析：∵sin α<0，∴α在第三、四象限，
∵tan α>0，∴α在第一、三象限，故sin α<0且tan α>0时，α在第三象限．
答案：C
4．解析：如图，直线eq \r(3)x－y＝0过原点，倾斜角为60°，
在0°～360°范围内，
终边落在射线OA上的角是60°，
终边落在射线OB上的角是240°，
所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}
考点二
例1 解析：设圆心角是θ，半径是r，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4,θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1,θ＝8))(舍去)，
故扇形的圆心角为eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
变式练
1．解析：设圆心角为θ，半径为r，
则2r＋rθ＝10，
S＝eq \f(1,2)θ·r2＝eq \f(1,2)r(10－2r)＝r(5－r)＝－(r－eq \f(5,2))2＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4).
当且仅当r＝eq \f(5,2)时，Smax＝eq \f(25,4)，θ＝2，
所以当r＝eq \f(5,2)，θ＝2时，扇形面积最大．
2．解析：设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝eq \f(6,r)得r＝4eq \r(3) cm，
所以l＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(3)＝eq \f(8\r(3),3)π(cm)．
答案：eq \f(8\r(3),3)π
3．解析：设扇形的弧长为l，半径为R，由题意可得：eq \f(1,2)lR＝2eq \r(3)，eq \f(l,R)＝eq \r(3)，
解得：l＝2eq \r(3)，R＝2，则扇形的周长为：l＋2R＝4＋2eq \r(3).
答案：4＋2eq \r(3)
考点三
例2 解析：(1)由三角函数的定义得cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x，
解得x＝0或x＝eq \r(3)或x＝－eq \r(3)，
∵α是第二象限角，即x<0，∴x＝－eq \r(3)，
∴sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(\r(5),\r(8))＝eq \f(\r(10),4).
(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－eq \f(5,13)，所以cs α＝eq \f(－x,\r(x2＋36))＝－eq \f(5,13)，即x＝eq \f(5,2)，所以P(－eq \f(5,2)，－6)．所以sin α＝－eq \f(12,13)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(12,5)，则eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝－eq \f(13,12)＋eq \f(5,12)＝－eq \f(2,3).
答案：(1)C (2)－eq \f(2,3)
例3 解析：(1)当x是第一象限角时，eq \f(|sin x|,sin x)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(|tan x|,tan x)＝3≠－1，故x一定不是第一象限角；当x是第二象限角时，eq \f(|sin x|,sin x)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(|tan x|,tan x)＝1－1－1＝－1，即x可以是第二象限角；当x是第三象限角时，eq \f(|sin x|,sin x)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(|tan x|,tan x)＝－1－1＋1＝－1，即x可以是第三象限角；当x是第四象限角时，eq \f(|sin x|,sin x)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(|tan x|,tan x)＝－1＋1－1＝－1，即x可以是第四象限角．
(2)∵sin θcs θ<0，∴θ在第二、四象限，又∵cs θ－sin θ<0，∴θ∈(eq \f(π,4)＋2kπ，eq \f(5,4)π＋2kπ)，k∈Z，∴θ在第二象限．
答案：(1)A (2)二
例4 解析：如图，设∠BOC＝1，由于eq \f(π,4)<1答案：C
变式练
4．解析：因为eq \f(π,2)<2<3<π<40，cs 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cs 3·tan 4<0.
答案：A
5．解析：
如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－x,x)＝－1.
答案：－1
6．解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs θ<0，所以r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(9cs2θ＋16cs2θ)＝－5cs θ，所以sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(4,3).
答案：－eq \f(4,5) －eq \f(4,3)
第一象限角的集合
⑥________________________
第二象限角的集合
⑦________________________
第三象限角的集合
⑧________________________
第四象限角的集合
⑨________________________
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
⑰________叫做α的正弦，记作sin α
⑱________叫做α的余弦，记作cs α
⑲________叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
⑳________
eq \(○,\s\up1(21))________
eq \(○,\s\up1(22))________
Ⅱ
eq \(○,\s\up1(23))________
eq \(○,\s\up1(24))________
eq \(○,\s\up1(25))________
Ⅲ
eq \(○,\s\up1(26))________
eq \(○,\s\up1(27))________
eq \(○,\s\up1(28))________
Ⅳ
eq \(○,\s\up1(29))________
eq \(○,\s\up1(30))________
eq \(○,\s\up1(31))________
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函
数线
有向线段eq \(○,\s\up1(32))________为正弦线
有向线段eq \(○,\s\up1(33))________为余弦线
有向线段eq \(○,\s\up1(34))________为正切线