2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十四） 基本不等式与其它知识的交汇

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[例] 若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值是( )
A．2－eq \r(2) B.eq \r(2)－1
C．3＋2eq \r(2) D．3－2eq \r(2)
解析：直线平分圆，即直线过圆的圆心，由题意可知圆心坐标(1,2)．
则2a＋2b－2＝0
即a＋b＝1
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))(a＋b)
＝3＋(eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b))≥3＋2eq \r(2)
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)，即b＝eq \r(2)－1，a＝2－eq \r(2)时取等号．
答案：C
名师点评 基本不等式与函数、数列、解析几何结合的题目，往往先通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
[变式练] [2021·河南平顶山一模]若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(2,1)，则2a＋b的最小值为( )
A．10 B．9
C．8 D．6
微专题(二十四)
变式练
解析：由题意可得，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥5＋4＝9，当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝3时取等号，所以2a＋b的最小值为9.故选B.
答案：B