2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十一） 数列与其函数的交汇

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[例] [2021·大庆模拟]设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且x∈[0,1)时，f(x)＝sin πx.当x∈[0，＋∞)时，将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，a3，…，an，…，并记相应的极大值为b1，b2，b3，…bn，…，则数列{an＋bn}的前9项和为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，则f(x)＝2f(x－1)，
且当x∈[0,1)时，f(x)＝sin πx，
则当x∈[n－1，n)(n∈N*)，x－(n－1)∈[0,1)，
f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝…＝2n－1f[x－(n－1)]＝2n－1sin[πx－π(n－1)]，
f′(x)＝2n－1πcs[πx－π(n－1)]，
当x∈[n－1，n)(n∈N*)时，x－(n－1)∈[0,1)，则[πx－π(n－1)]∈[0，π)，
令f′(x)＝0，可得πx－π(n－1)＝eq \f(π,2)，解得x＝n－eq \f(1,2)，
当n－10，当n－eq \f(1,2)所以，函数y＝f(x)在x＝n－eq \f(1,2)处取得极大值，即bn＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))＝2n－1，
又an＝n－eq \f(1,2)，∴an＋bn＝n－eq \f(1,2)＋2n－1，
因此，数列{an＋bn}的前9项的和S9＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋9－\f(1,2)))×9,2)＋eq \f(1－29,1－2)＝eq \f(1 103,2).
答案：eq \f(1 103,2)
名师点评
1．本题把数列问题与函数的极值点相交汇，借用导数的工具性求出极值点，进而求得结果，考查考生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
2．破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用等差数列的单调性，若公差大于0，则该数列单调递增，若公差小于0，则该数列单调递减，若公差等于0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与等比数列的前n项和公式，不要搞混．
[变式练] 已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x 的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＜2Tn B．b4＝0
C．T7＞b7 D．T5＝T6
微专题(二十一)
变式练
解析：因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以，Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.
答案：D