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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(二十一) 数列与其函数的交汇
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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(二十一) 数列与其函数的交汇

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    这是一份2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(二十一) 数列与其函数的交汇,共2页。


    [例] [2021·大庆模拟]设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且x∈[0,1)时,f(x)=sin πx.当x∈[0,+∞)时,将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,a3,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,b3,…bn,…,则数列{an+bn}的前9项和为________.
    解析:函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),则f(x)=2f(x-1),
    且当x∈[0,1)时,f(x)=sin πx,
    则当x∈[n-1,n)(n∈N*),x-(n-1)∈[0,1),
    f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2n-1f[x-(n-1)]=2n-1sin[πx-π(n-1)],
    f′(x)=2n-1πcs[πx-π(n-1)],
    当x∈[n-1,n)(n∈N*)时,x-(n-1)∈[0,1),则[πx-π(n-1)]∈[0,π),
    令f′(x)=0,可得πx-π(n-1)=eq \f(π,2),解得x=n-eq \f(1,2),
    当n-10,当n-eq \f(1,2)所以,函数y=f(x)在x=n-eq \f(1,2)处取得极大值,即bn=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n-\f(1,2)))=2n-1,
    又an=n-eq \f(1,2),∴an+bn=n-eq \f(1,2)+2n-1,
    因此,数列{an+bn}的前9项的和S9=eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)+9-\f(1,2)))×9,2)+eq \f(1-29,1-2)=eq \f(1 103,2).
    答案:eq \f(1 103,2)
    名师点评
    1.本题把数列问题与函数的极值点相交汇,借用导数的工具性求出极值点,进而求得结果,考查考生的逻辑推理、数学运算等核心素养.
    2.破解数列与函数相交汇问题的关键:一是会利用导数法求函数的极值点;二是会利用等差数列的单调性,若公差大于0,则该数列单调递增,若公差小于0,则该数列单调递减,若公差等于0,则该数列是常数列,不具有单调性;三是会利用公式法求和,记清等差数列与等比数列的前n项和公式,不要搞混.
    [变式练] 已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2-10x 的图象上,等差数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是( )
    A.Sn<2Tn B.b4=0
    C.T7>b7 D.T5=T6
    微专题(二十一)
    变式练
    解析:因为点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2-10x的图象上,所以,Sn=n2-10n,所以an=2n-11,又bn+bn+1=an(n∈N*),数列{bn}为等差数列,设公差为d,所以2b1+d=-9,2b1+3d=-7,解得b1=-5,d=1,所以bn=n-6,所以b6=0,所以T5=T6,故选D.
    答案:D
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