2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（七） “敲定”函数图象的对称性问题

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[例] 下列说法中，正确命题的个数为( )
①函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称；
②函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称；
③如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
④函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，把函数y＝f(x)中的y换成－y，x保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x轴对称；对于②，把函数y＝f(x)中的x换成－x，y换成－y，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点对称；对于③，若对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋x＋a－x,2)＝a对称；对于④，因为函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，它们的图象分别向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象，即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D.
答案：D
名师点评
1．函数图象的对称性反映了函数的特性，是研究函数性质的一个重要方面，它包含一个函数图象自身的对称性和两个函数图象之间的对称性．
2．函数对称性的常用结论
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称；函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(x)的图象关于直线y＝b对称．
[变式练] 已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．
①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；
④y＝f(－|x|)．
微专题(七)
变式练
解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的，故选④.
答案：④