2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十四） 三角函数模型中“ω”值的求法

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十四） 三角函数模型中“ω”值的求法，共3页。学案主要包含了结合三角函数的单调性求解，利用三角函数的对称性求解，利用三角函数的最值求解等内容，欢迎下载使用。

在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．本文整理了以下几种ω的求法，以供参考．
一、结合三角函数的单调性求解
[例1] 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[0，eq \f(2,3)] B．[0，eq \f(3,2)]
C．[eq \f(2,3)，3] D．[eq \f(3,2)，3]
解析：令eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)，得eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，因为f(x)在[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递减，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≤\f(π,3)，,\f(π,2)≤\f(3π,2ω)＋\f(2kπ,ω).))得：6k＋eq \f(3,2)≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋eq \f(3,2)<4k＋3，得0≤k答案：D
名师点评 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
[变式练1] 已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.若f(x)在[－eq \f(π,4)，eq \f(2π,3)]上单调递增，求ω的取值范围．
二、利用三角函数的对称性求解
[例2] 已知函数f(x)＝cs(ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)的一条对称轴x＝eq \f(π,3)，一个对称中心为点(eq \f(π,12)，0)，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
解析：因为函数的中心到对称轴的最短距离是eq \f(T,4)，两条对称轴间的最短距离是eq \f(T,2)，所以，对称中心(eq \f(π,12)，0)到对称轴x＝eq \f(π,3)间的距离用周期可表示为eq \f(π,3)－eq \f(π,12)＝eq \f(T,4)＋eq \f(kT,2)(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝eq \f(2π,ω)，所以(2k＋1)eq \f(2π,ω)＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.
答案：A
名师点评 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这又说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．
[变式练2] 若函数y＝cs(ωx＋eq \f(π,6))(ω∈N*)的图象的一个对称中心是(eq \f(π,6)，0)，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8


三、利用三角函数的最值求解
[例3] 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－eq \f(π,3)，eq \f(π,4)]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
解析：显然ω≠0.
若ω>0，当x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,4)]时，－eq \f(π,3)ω≤ωx≤eq \f(π,4)ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间[－eq \f(π,3)，eq \f(π,4)]上的最小值为－2，
所以－eq \f(π,3)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≥eq \f(3,2).
若ω<0，当x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,4)]时，eq \f(π,4)ω≤ωx≤－eq \f(π,3)ω，
由题意知eq \f(π,4)ω≤－eq \f(π,2)，即ω≤－2.
所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪[eq \f(3,2)，＋∞)．
答案：(－∞，－2]∪[eq \f(3,2)，＋∞)
名师点评 利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
[变式练3] 已知f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)，f(eq \f(π,6))＝f(eq \f(π,3))，且f(x)在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))内有最小值无最大值，则ω＝________.

微专题(十四)
变式练1
解析：因为函数f(x)＝2sin ωx的周期T＝eq \f(2π,ω)，
所以[－eq \f(π,2ω)，eq \f(π,2ω)]是f(x)的一个单调递增区间．
又f(x)在[－eq \f(π,4)，eq \f(2π,3)]单调递增，
所以[－eq \f(π,4)，eq \f(2π,3)]⊆[－eq \f(π,2ω)，eq \f(π,2ω)]．
于是有－eq \f(π,2ω)≤－eq \f(π,4)，eq \f(π,2ω)≥eq \f(2π,3).
又ω>0，解得0<ω≤eq \f(3,4).
故ω的取值范围是(0，eq \f(3,4)]．
变式练2
解析：依题意得cs(eq \f(πω,6)＋eq \f(π,6))＝0，则eq \f(πω,6)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，又ω∈N*，所以ω的最小值为2.故选B.
答案：B
变式练3
解析：因为f(eq \f(π,6))＝f(eq \f(π,3))，而eq \f(1,2)(eq \f(π,6)＋eq \f(π,3))＝eq \f(π,4)，所以f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，又f(x)在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))内有最小值无最大值，所以f(x)min＝f(eq \f(π,4))＝sin(eq \f(πω,4)＋eq \f(π,3))＝－1，所以eq \f(πω,4)＋eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝8k－eq \f(10,3).再由f(x)在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))内有最小值无最大值，得eq \f(2π,ω)＝T≥eq \f(π,3)－eq \f(π,6)，解得ω≤12，所以k＝1，ω＝eq \f(14,3).
答案：eq \f(14,3)