2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十九） 三角形的“心”的向量表示及应用

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1．三角形各心的概念介绍
重心：三角形的三条中线的交点；
垂心：三角形的三条高线的交点；
内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成21；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
2．三角形各心的向量表示
(1)O是△ABC的重心⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0；
(2)O是△ABC的垂心⇔eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))；
(3)O是△ABC的外心⇔|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|(或OA2＝eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2)；
(4)O是△ABC的内心⇔eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)－\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)－\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)－\f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)))＝0.
注意 向量λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)
专题一 将平面向量与三角形外心结合考查
[例1] 若O为△ABC内一点，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，则O是△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.
答案：B
专题二 将平面向量与三角形垂心结合考查
[例2] 点P是△ABC所在平面上一点，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，则点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析：由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，即eq \(PB,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D.
讲评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．
答案：D
专题三 将平面向量与三角形内心结合考查
[例3] O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，
λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析：
因为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)是向量eq \(AB,\s\up6(→))方向上的单位向量，设eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量分别为e1和e2，又eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，则原式可化为eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故选B.
答案：B
专题四 将平面向量与三角形重心结合考查
[例4] 点P是△ABC所在平面内任一点．G是△ABC的重心⇔eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))．
解析：∵eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))，
∴3eq \(PG,\s\up6(→))＝(eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→)))＋(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))．
∵点G是△ABC的重心，∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
∴eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝0，即3eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)).
由此得eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))．
反之亦然(证略)．
专题五 将平面向量与三角形四心结合考查
[例5] 已知向量eq \(OP1,\s\up6(→))，eq \(OP2,\s\up6(→))，eq \(OP3,\s\up6(→))满足条件eq \(OP1,\s\up6(→))＋eq \(OP2,\s\up6(→))＋eq \(OP3,\s\up6(→))＝0，|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(→))|＝|eq \(OP3,\s\up6(→))|＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．
证明：由已知条件可得eq \(OP1,\s\up6(→))＋eq \(OP2,\s\up6(→))＝－eq \(OP3,\s\up6(→))，两边平方，得eq \(OP1,\s\up6(→))·eq \(OP2,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2).
同理eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝eq \(OP3,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2).
∴|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝|eq \(P2P3,\s\up6(→))|＝|eq \(P3P1,\s\up6(→))|＝eq \r(3).
从而△P1P2P3是正三角形．