2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十六） 数学运算——计算三角形中的未知量

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数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．
[例] [2020·全国卷Ⅰ]如图，在三棱锥P­ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝eq \r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cs∠FCB＝________.
解析：将平面图形还原成三棱锥P ­ ABC(如图)，
在△PAB中，∠PAB＝90°，PA＝eq \r(3)，AB＝eq \r(3)，∴PB＝eq \r(6)，
在△PAC中，PA＝eq \r(3)，AC＝1，∠PAC＝30°，由余弦定理得PC2＝3＋1－2eq \r(3)·cs 30°，∴PC＝1，
在Rt△BAC中，易知BC＝2，
在△PCB中，由余弦定理的推论得cs∠PCB＝eq \f(1＋4－6,2×1×2)＝－eq \f(1,4)，即cs∠FCB＝－eq \f(1,4).
答案：－eq \f(1,4)
名师点评
1．求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解．
2．求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b)，sin B＝eq \f(bsin A,a)，sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解．
3．已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
[变式练] [2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝60°，b＝4.
①若c＝eq \r(3)，则角C有一个解；②若eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝8，则AC边上的高为2eq \r(3)；③a＋c不可能是9.
上述判断中，正确的序号是________．

微专题(十六)
变式练
解析：对于①，由已知并结合正弦定理得eq \f(4,sin 60°)＝eq \f(\r(3),sin C)，所以sin C＝eq \f(3,8)