高考数学一轮复习练习案56第八章解析几何第八讲曲线与方程含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案56第八章解析几何第八讲曲线与方程含解析新人教版，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2021·河北“五个一名校联盟”联考)“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的( D )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若直线l与曲线C只有一个交点，直线l与曲线C不一定相切，比如当直线l与双曲线的渐近线平行时，直线l与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反之，若直线l与曲线C相切，直线l与曲线C也不一定只有一个交点．
2．(2021·百师联盟联考)方程x4＋y4＝4(x2＋y2)所表示曲线的大致形状为( A )
[解析] 令x＝0，解得y＝±2，令y＝0，解得x＝±2，故排除C、D选项；易知该函数图象不是圆，排除B选项，又因为(0,0)点满足条件，故选A.
3．(此题为更换后新题)(2021·山东青岛黄岛区期末)已知相距1400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点在 上．( D )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
[解析] 设炮弹爆炸点为P，则||PA|－|PB||＝10200，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．
6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是( B )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
[解析] M点的轨迹是双曲线 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．
7．(2021·浙江台州六校期中联考)若平面上两点A(－2,0)，B(1,0)，则l：y＝k(x－1)上满足|PA|＝2|PB|的点P的个数为( C )
A．0 B．1
C．2 D．与实数k的取值有关
[解析] 设P(x，y)，则由题意知eq \r(x＋22＋y2)＝2eq \r(x－12＋y2)，化简得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，显然直线l过定点H(1,0)，且H在圆(x－2)2＋y2＝4内，∴直线上满足|PA|＝2|PB|的点P有2个，故选 C．
8．已知F是抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( A )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq \f(1,16)
C．x2＝y－eq \f(1,2) D．x2＝2y－2
[解析] 把抛物线方程y＝eq \f(1,4)x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，
设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)．
由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0＋1,2)))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x，,y0＝2y－1，))
又∵P(x0，y0)在抛物线y＝eq \f(1,4)x2上，
∴2y－1＝eq \f(1,4)(2x)2，即x2＝2y－1，故选A.
9．设A1、A2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为( C )
A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1
[解析] 解法1：设交点P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，
P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1、P1、P共线，∴eq \f(y－y0,x－x0)＝eq \f(y,x＋3)，
∵A2、P2、P共线，∴eq \f(y＋y0,x－x0)＝eq \f(y,x－3).
解x0＝eq \f(9,x)，y0＝eq \f(3y,x)，代入得eq \f(x\\al(2,0),9)＋eq \f(y\\al(2,0),4)＝1，即eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，
答案：
C．
解法2：设P1、P2两点的横坐标为x＝3cs θ，
又A1(－3,0)，A2(3,0)，
P1(3csθ，2sin θ)，P2(3cs θ，－2sin θ)，
故直线A1P1和A2P2方程分别为
y＝eq \f(2sin θ,3cs θ＋3)(x＋3)，y＝eq \f(－2sin θ,3cs θ－3)(x－3)．
设交点P(x，y)，则y2＝eq \f(－4sin2 θ,9cs2 θ－1)(x2－9)，
即eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
二、多选题
10．当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，方程x2sin α＋y2cs α＝1表示的轨迹可以是( ACD )
A．两条直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[解析] 当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，sin α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，eq \f(1,sin α)∈(1，eq \r(2))，cs α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))，eq \f(1,cs θ)∈(eq \r(2)，＋∞)，
eq \f(1,cs α)>eq \f(1,sin α)>0.
方程x2sin α＋y2cs α＝1可化为eq \f(x2,\f(1,sin α))＋eq \f(y2,\f(1,cs α))＝1，
表示焦点在y轴上的椭圆．
当α＝eq \f(π,2)时，sin α＝1，cs α＝0，方程x2sin α＋y2cs α＝1化为x2＝1，x＝±1，表示两条直线．
当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))时，
sin α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，eq \f(1,sin α)∈(1，eq \r(2))，
cs α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))，eq \f(1,cs α)∈(－∞，－eq \r(2))，
方程x2sin α＋y2cs α＝1可化为eq \f(x2,\f(1,sin α))－eq \f(y2,－\f(1,cs α))＝1，
表示焦点在x轴上的双曲线．
所以曲线不可能表示圆，故选A、C、D.
11．(2021·湖南益阳调研)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,m)＝1过点(3，eq \r(2))，则下列结论正确的是( AC )
A．C的焦距为4
B．C的离心率为eq \r(3)
C．C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
D．直线2x－eq \r(3)y－1＝0与C有两个公共点
[解析] 由题意知eq \f(32,3)－eq \f(\r(2)2,m)＝1，∴m＝1，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝2，∴焦距2c＝4，A正确；e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，B错；显然C正确；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1,2x－\r(3)y－1＝0))得9y2－2eq \r(3)y＋11＝0，由Δ＝(2eq \r(3))2－4×9×113)．
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( A )
A．y2－eq \f(x2,48)＝1(y≤－1) B．y2－eq \f(x2,48)＝1
C．y2－eq \f(x2,48)＝－1 D．x2－eq \f(y2,48)＝1
[解析] 显然|AC|＝13，|BC|＝15，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝2.∴F的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的下支，故选A.
5．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( C )
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
[解析]
可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，故选 C．