高考数学一轮复习练习案54第八章解析几何第六讲双曲线含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案54第八章解析几何第六讲双曲线含解析新人教版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2021·河北保定模拟)若方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( A )
A．m6 B．20，b>0，
∴eq \f(b,a)＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为eq \f(|4|,\r(2))＝2eq \r(2).
4．(2021·福建南平质检)已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( C )
A．8eq \r(3) B．6eq \r(3)
C．4eq \r(3) D．2eq \r(3)
[解析] 在△F1PF2中，由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，
得4c2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
由||PF1|－|PF2||＝2a，得|PF1|·|PF2|＝4b2＝16.
△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin 60°＝4eq \r(3).故选 C．
5．(2021·河南新乡模拟)若双曲线y2－a2x2＝1(a>0)实轴的顶点到它的渐近线的距离为eq \f(1,4)，则该双曲线的离心率为( B )
A．eq \f(\r(15),3) B．eq \f(4\r(15),15)
C．eq \f(16,15) D．eq \f(2\r(15),5)
[解析] 双曲线y2－a2x2＝1(a>0)的一个顶点为(0,1)，一条渐近线为y－ax＝0，点(0,1)到直线y－ax＝0的距离为eq \f(1,\r(1＋a2))＝eq \f(1,4)，所以a＝eq \r(15).所以双曲线的方程为y2－eq \f(x2,\f(1,15))＝1，则c＝eq \f(4,\r(15))，故其离心率为eq \f(c,1)＝eq \f(4,\r(15))＝eq \f(4\r(15),15).
6．(2020·天津)设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( D )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
则直线l的方程为y＝－b(x－1)，
∵双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，∴－eq \f(b,a)＝－b，eq \f(b,a)·(－b)＝－1，
∴a＝1，b＝1，
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1，故选D.
7．(2021·广东调研)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，若EF＝3OE(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为( C )
A．eq \r(5) B．2eq \r(2)
C．eq \r(10) D．2eq \r(3)
[解析] 由题知，EF＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，又OF＝c，
∴OE＝eq \r(OF2－EF2)＝eq \r(c2－b2)＝a，∴b＝3a，
故双曲线的离心率为e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(10).
8．(2021·广东茂名综合测试)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x－m)2＋y2＝4(m>0)截得的线段长为2，则实数m的值为( C )
A．eq \r(3) B．eq \r(2)
C．2 D．1
[解析] 依题意eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
∴双曲线渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，
不妨取渐近线l1：eq \r(3)x－y＝0，
则圆心(m,0)(m>0)到l1的距离d＝eq \f(|\r(3)m|,\r(3＋1))＝eq \f(\r(3)m,2)，
由勾股定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)m,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))2＝22，解得m＝±2.
∵m>0，∴m＝2.故选 C．
9．(2021·福建厦门质检)已知双曲线C经过点(eq \r(2)，3)，其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则C的标准方程为( D )
A．eq \f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,3)＝1
C．y2－eq \f(x2,3)＝1 D．eq \f(y2,3)－x2＝1
[解析] 由题意知可设双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝λ，∴λ＝(eq \r(2))2－eq \f(32,3)＝－1，故C的标准方程为eq \f(y2,3)－x2＝1.故选D.
10．(2021·四川达州质检)F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，M是双曲线右支上一点，直线MF切圆x2＋y2＝a2于点N，eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(ON,\s\up6(→))，则C的离心率是( A )
A．eq \r(5) B．2
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
[解析]
∵eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(ON,\s\up6(→))，
∴N是FM的中点，F2是右焦点，则O是F1F2中点，
∴ON∥F2M，∵N是切点，
∴|ON|＝a，ON⊥FM，
∴|MF2|＝2a，MF2⊥MF，
又由|MF|－|MF2|＝2a得
|MF|＝4a，
∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).故选A.
二、多选题
11．(2021·广东新课改大联考)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,6)＝1，则( AC )
A．C的离心率为eq \r(7)
B．C的虚轴长是实轴长的6倍
C．双曲线eq \f(y2,6)－x2＝1与C的渐近线相同
D．直线y＝3x上存在一点在C上
[解析] 因为a2＝1，b2＝6，所以c2＝1＋6＝7，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7)，eq \f(2b,2a)＝eq \r(6)，所以A正确，B错误．双曲线eq \f(y2,6)－x2＝1与C的渐近线均为y＝±eq \r(6)x，所以C正确．因为C的渐近线的斜率小于3，所以直线y＝3x与C相离，所以D错误．
12．(2021·河北唐山摸底)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一条渐近线l：y＝2eq \r(2)x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|＝|OP|，O为坐标原点，则( ABD )
A．C的虚轴长为4eq \r(2) B．∠F1PF2＝90°
C．||PF1|－|PF2||＝2 D．△PF1F2的面积为6eq \r(2)
[解析] 双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，∴b＝2eq \r(2)，∴双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1，∴a＝1，b＝2eq \r(2)，显然A正确；又|OF1|＝|OP|＝|OF2|，即O为△PF1F2外接圆的圆心，∴∠F1PF2＝90°，B正确；因为满足条件||PF1|－|PF2||＝2的点P的轨迹为双曲线，不合题意，C错误；因为c2＝a2＋b2＝9，所以F1(－3,0)，|OP|＝|OF1|＝3，设P(m,2eq \r(2)m)，则m2＋8m2＝9，m＝±1，所以P(1,2eq \r(2))或(－1，－2eq \r(2))，即S△PF1F2＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(2)＝6eq \r(2).D正确．
13．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是( BC )
A．该双曲线的离心率为eq \f(5,4)
B．该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x
C．点P到两渐近线的距离的乘积为eq \f(144,25)
D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为32
[解析] 由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝5，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，A错；渐近线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝0，即y＝±eq \f(4,3)x，B正确；设点P坐标为(x，y)，则16x2－9y2＝144，且点P到两渐近线距离的乘积为eq \f(|4x－3y|,5)·eq \f(|4x＋3y|,5)＝eq \f(144,25)，C正确；∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(||PF1|－|PF2||＝6,|PF1|2＋|PF2|2＝100))，∴|PF1|·|PF2|＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－36,2)＝32，∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝16，D错；故选B
C．
三、填空题
14．(2020·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是 eq \f(3,2) .
[解析] 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，可得eq \f(\r(5),a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝2，所以双曲线的离心率为：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4＋5),2)＝eq \f(3,2).
15．(2020·新课标Ⅰ)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 2 .
[解析] F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点(c,0)，A为C的右顶点(a,0)，B为C上的点，且BF垂直于x轴．所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，若AB的斜率为3，可得：eq \f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，b2＝c2－a2，代入上式化简可得c2＝3ac－2a2，e＝eq \f(c,a)，可得e2－3e＋2＝0，e>1，解得e＝2.
16．(2021·河南顶尖名校联考)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右顶点为A1，A2，右焦点为F1，B为虚轴的上端点，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点P满足eq \(PA1,\s\up6(→))·eq \(PA2,\s\up6(→))＝0，则双曲线离心率为 eq \f(1＋\r(5),2) .
[解析] 由题意，F1(c,0)，B(0，b)，
则直线BF1的方程为bx＋cy－bc＝0，
在线段BF1上(不含端点)有且只有一点满足eq \(PA1,\s\up6(→))·eq \(PA2,\s\up6(→))＝0，则PO⊥BF1，且PO＝a.
∴a＝eq \f(bc,\r(b2＋c2))，即a2＝eq \f(b2c2,b2＋c2).
∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a4＝0，e4－3e2＋1＝0.
解得e2＝eq \f(3＋\r(5),2)，∴e＝eq \f(1＋\r(5),2).
B组能力提升
1．(2021·黑龙江哈尔滨香坊区一模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，过F作双曲线C一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，则双曲线方程为( B )
A．eq \f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,3)＝1
C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 D．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1
[解析] 由题意可得c＝2，即a2＋b2＝4，①
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，左焦点为F1，
∵eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，OA⊥AF，
∴∠FOA＝∠AOB＝∠BOF1＝60°，
∴eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，
由①②可得a＝1，b＝eq \r(3).
∴双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，故选B.
2．(2021·四川省联合诊断)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为( D )
A．eq \f(5,3) B．eq \f(5,4)
C．eq \r(5) D．5
[解析] 如图所示：
∵直线4x－3y＋20＝0过点F，
∴F(－5,0)，半焦距c＝5，
设A为PF中点，∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，
又∵OA为△PFF1中位线，∴OA∥PF1，
由点到直线距离公式可得|OA|＝eq \f(|20|,5)＝4，
∴|PF1|＝2|OA|＝8，
由勾股定理可得：|FP|＝eq \r(|FF1|2－|PF1|2)＝6，
再由双曲线定义可得：|PF1|－|PF|＝2a＝2，
∴a＝1，
双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝5.答案选D.
3．(2021·广西壮族自治州模拟)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝ 8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P，使得eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(FP,\s\up6(→))，则E的离心率的取值范围是( B )
A．(1,2) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．(2，＋∞)
[解析] 由题意得，A(a,0)，F(2a,0)，
设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(b,a)x0))，由eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(FP,\s\up6(→))，
得eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝0⇒eq \f(c2,a2)xeq \\al(2,0)－3ax0＋2a2＝0，
因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，
即9a2－4×2a2×eq \f(c2,a2)≥0⇒9a2≥8c2⇒e2≤eq \f(9,8)⇒e≤eq \f(3\r(2),4)，
又因为E为双曲线，则11，∴10，b>0)的右焦点，过点F向双曲线C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FB,\s\up6(→))，则双曲线C的渐近线方程是 y＝±eq \f(\r(3),3)x .
[解析] 设OA：y＝eq \f(b,a)x，则AF：y＝－eq \f(a,b)(x－c)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x,y＝－\f(a,b)x－c))，得yA＝eq \f(ab,c)，
同理yB＝eq \f(abc,b2－a2)，
∴eq \f(2ab,c)＝eq \f(abc,a2－b2)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x.
6．(2021·新高考八省联考)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
[解析] (1)设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，±\f(b2,a)))，
因为|AF|＝|BF|，故eq \f(b2,a)＝a＋c，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
故e＝2.
(2)当BF⊥AF时，结论显然成立；
当BF与AF不垂直时，设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝eq \r(3)a，
故渐近线方程为：y＝±eq \r(3)x，
所以∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
又tan∠BFA＝－eq \f(y0,x0－c)＝－eq \f(y0,x0－2a)，
tan∠BAF＝eq \f(y0,x0＋a)，
所以tan2∠BAF＝eq \f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋a)))2)
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－y\\al(2,0))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2))))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3x\\al(2,0)－a2)
＝eq \f(2y0,x0＋a－3x0－a)
＝－eq \f(y0,x0－2a)＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
故∠BFA＝2∠BAF.