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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系课后练习题
展开这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系课后练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021山东潍坊高一期中)某学校高一3班为该班男生分配宿舍,如果每个宿舍安排3人,就会有6名男生没有宿舍住,如果每个宿舍安排5人,有一间宿舍不到5名男生,那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )
A.3或4B.4或5
C.3或5D.4或6
答案B
解析设房间数量为x,由题意可得5(x-1)+1≤3x+6<5x,解得3
故选B.
2.(2021黑龙江八校高一期中)下列不等式正确的是( )
A.若x<0,则x+1x≤2
B.若x∈R,则x2+3x2+2≥2
C.若x∈R,则1x2+1<1
D.若x>0,则(1+x)1+1x≥4
答案D
解析由于x<0,所以-x>0,故(-x)+-1x≥2,则x+1x≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故A错误;x2+3x2+2=(x2+2)+1x2+2=x2+2+1x2+2,设x2+2=t(t≥2),所以y=t+1t,由于函数为对勾函数,在t=2时,最小值为2+22,故B错误;
当x=0时,1x2+1=1,故C错误;由于x>0,
所以(1+x)1+1x=2+x+1x≥4,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选D.
3.(2021湖北高一期末)已知a<0
C.b+c
答案D
解析因为a<0
4.不等式2x+2
B.{x|x<-3,或-2
答案A
解析不等式2x+2
5.已知实数a,b满足1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是( )
A.[0,10]B.[2,10]
C.[0,12]D.[2,12]
答案B
解析因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,即2≤4a+2b≤10.
6.(2021河南焦作高二期末)已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是( )
A.[2,4]B.(0,2]∪[4,+∞)
C.[4,16]D.(0,4]∪[16,+∞)
答案D
解析因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8≤ab-6ab+8,当且仅当a=b时等号成立.
即(ab-2)(ab-4)≥0,所以0
A.-32,1
B.-32,1
C.(-2,1)
D.-∞,-32∪(1,+∞)
答案A
解析因为x>0,y>0,且x+y=1,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy≥1-x+y22=34,当且仅当x=y=12时,等号成立;
又不等式x2+y2+xy>12m2+14m恒成立,
所以只需34>12m2+14m,即2m2+m-3<0,解得-32
A.4B.92C.5D.112
答案A
解析∵正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,∴x+2y+x+2y22-8≥0,当且仅当x=2y时取等号.
设x+2y=t>0,∴t+14t2-8≥0,∴t2+4t-32≥0,即(t+8)(t-4)≥0,∴t≥4,故x+2y的最小值为4.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列命题中,不正确的是( )
A.若ac>bc,则a>b
B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a
解析取a=-3,c=-1,b=-2,则ac=3,bc=2,ac>bc,但a
解析设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为sa+sb,
∴v=2ssa+sb=2aba+b.
∵b>a>0,由基本不等式可得ab
另一方面v=2aba+b<2a+b22a+b=a+b2,v-a=2aba+b-a=ab-a2a+b>a2-a2a+b=0,
∴v>a,则a
C.x2-x1>4D.-1
解析∵不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1
∴x1+x2=2,x1x2=1-3aa=1a-3<-3,x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2=4-4×1-3aa=24-1a>4.
由x2-x1>4,可得-1
A.2B.4C.6D.8
答案BC
解析设f(x)=x2-2x-a,图像开口向上,对称轴为x=1,若关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数.根据二次函数的对称轴以及对称性,则这5个整数应为-1,0,1,2,3,则f(-1)≤0,f(-2)>0,即1+2-a≤0,4+4-a>0,解得a≥3,a<8,实数a的取值范围满足3≤a<8,故选BC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知a>0,b>1,且a(b-1)=4,则a+b的最小值为 .
答案5
解析∵a>0,b>1,且a(b-1)=4,∴a=4b-1>0.
∴a+b=4b-1+(b-1)+1≥24+1=5,当且仅当a=2,b=3时,等号成立.
14.(2020河南高二期末)已知x,y均为正实数,且满足1x+1y+3xy=1,则x+y的最小值为 .
答案6
解析由1x+1y+3xy=1可得xy=x+y+3.
又因为xy≤x+y22,所以x+y22≥x+y+3,
即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,∴(x+y-6)(x+y+2)≥0,∴x+y≤-2或x+y≥6.
又∵x,y均为正实数,∴x+y≥6(当且仅当x=y=3时,等号成立),即x+y的最小值为6.
15.(2020宁夏高一期中)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4500xL,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为 .
答案{x|60≤x≤100}
解析由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,所以15120-k+4500120=11.5,解得k=100,故每小时油耗为15x+4500x-20L,依题意15x+4500x-20≤9,解得45≤x≤100,依题意60≤x≤120,故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100].
16.(2021陕西西安交大附中高一期中)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2,则实数m的取值范围为 .
答案{m|2-10
∴Δ=16(m-1)2-8(m2+7)≥0,|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1·x2<2,
即m2-4m-5≥0,m2-4m-6<0,
解得2-10
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.
解(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
18.(12分)(2021江苏淮安六校联盟高一联考)(1)已知a,b均为正数,且a≠b,比较aa+bb与ab+ba的大小;
(2)a,b都为正数,a+b=2,求1a+1b+1ab的最小值.
解(1)∵a,b均为正数,且a≠b,
∴aa+bb-(ab+ba)=a(a-b)+b(b-a)=(a-b)(a-b)=(a-b)2(a+b)>0,
∴aa+bb>ab+ba.
(2)∵a,b都为正数,且a+b=2,
∴1a+1b+1ab=a+b+1ab=3ab≥3a+b22=3,
当且仅当a=b=1时,等号成立,即1a+1b+1ab的最小值为3.
19.(12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+1.
(1)当m=5时,求不等式y>0的解集;
(2)若不等式y>0的解集为R,求实数m的取值范围.
解(1)当m=5时,y=6x2-5x+1,
不等式y>0即为6x2-5x+1>0,
解得该不等式的解集为xx<13或x>12.
(2)由题意得(m+1)x2-mx+1>0的解集为R.
当m=-1时,该不等式的解集为{x|x>-1},不符合题意,舍去;
当m<-1时,不符合题意,舍去;
当m>-1时,Δ=(-m)2-4(m+1)<0,解得2-22
20.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数yx(x>0)的最小值;
(2)当0≤x≤2时,不等式y≤a成立,试求a的取值范围.
解(1)依题意得yx=x2-4x+1x=x+1x-4.因为x>0,所以x+1x≥2.当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以yx≥-2.故当x=1时,yx的最小值为-2.
(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“当0≤x≤2时,不等式y≤a成立”只要“当0≤x≤2时,不等式x2-2ax-1≤0恒成立”.
不妨设z=x2-2ax-1,
则只要当0≤x≤2时,不等式z≤0恒成立.
所以0-0-1≤0,4-4a-1≤0,
解得a≥34.
所以a的取值范围是34,+∞.
21.(12分)(2021山东临沂部分高中高一期中)已知函数y=x2+2ax-b.
(1)若b=8a2,求不等式y≤0的解集;
(2)若a>0,b>0,且函数在x=b时的函数值为b2+b+a,求a+b的最小值.
解(1)因为b=8a2,所以y=x2+2ax-8a2,
由y≤0,得x2+2ax-8a2≤0,
即(x+4a)(x-2a)≤0,
当a=0时,不等式y≤0的解集为{x|x=0};
当a>0时,不等式y≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a};
当a<0时,不等式y≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a}.
综上所述,不等式y≤0的解集为:当a=0时,不等式y≤0的解集为{x|x=0},
当a>0时,不等式y≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a},
当a<0时,不等式y≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a}.
(2)因为在x=b时的函数值为b2+2ab-b,由题知b2+2ab-b=b2+b+a,
即2ab=a+2b,所以1a+12b=1.
由a+b=(a+b)×1=(a+b)1a+12b=1+ba+a2b+12≥32+2ba·a2b=32+2,
当且仅当a=2b,即a=1+22,b=1+22时,等号成立.
所以a+b的最小值为32+2.
22.(12分)某厂生产某种商品,经调查测算,该商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元.公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
解(1)设每件定价为t元,依题意得8-t-251×0.2t≥25×8,
整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40.
故要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为40元.
(2)依题意,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+15x成立,
即当x>25时,a≥150x+16x+15有解,
因为150x+16x≥2150x·16x=10,当且仅当150x=x6,即x=30时,等号成立.
则a≥10.2.
故当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时商品的每件定价为30元.
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